Porous materials: constitutive modeling and computational issues

Abstract

This work is concerned with the development, calibration, and numerical implementation of a novel fully explicit isotropic, rate-independent, elasto-plastic model for porous metallic materials. The microstructure is assumed to consist of a random, with uniform probability, distribution of randomly oriented spheroidal voids of the same shape. The proposed model is based on earlier homogenization estimates that use a Linear Comparison Composite (LCC) theory. The resulting expressions exhibit the simplicity of the well known Gurson model and, thus, their numerical implementation in a finite element code is straightforward. To assess the accuracy of the analytical model, we carry out detailed finite-strain, three-dimensional finite element (FE) simulations of representative volume elements (RVEs) with the corresponding microstructures. Proper parameter calibration of the model leads to fairly accurate agreement of the analytical predictions with the corresponding FE average stresses and porosity evolution. We show, both analytically and numerically, that the initial aspect ratio of the voids has a significant effect on the homogenized effective response of the porous material leading to extremely soft responses for flat oblate voids (e.g., aspect ratio less than 0.5) especially at high stress triaxialities. Next, we examine the computational issues related to the numerical implementation of rate-independent constitutive models that lead to softening behavior. It is shown analytically that elastic-plastic models based on "local" continuum formulations that do not incorporate a characteristic length scale may lead to loss of ellipticity of the governing partial differential equations (PDEs) and mesh-dependent numerical solutions. To remedy the associated numerical problems, we propose an implicit non-local version of the porous model developed in this work which is based on the introduction of a non-local porosity variable determined from the solution of an additional PDE. We show both analytically and numerically that the regularized version of the model allows for preservation of the elliptic properties of the governing equations yielding mesh-independent, converged solutions in the post-bifurcation regime. The bifurcation point (i.e., strain-to-localization) is found to be highly dependent on the micro-void's shape, with very flat voids (e.g., aspect ratio less than 0.3) leading to lower localization strains. The material length introduced by the non-local formulation is found to have minimal effect on the predicted bifurcation point, only affecting the post-bifurcation gradient of the macroscopic stress-strain curve and the size of the highly strained zone in the structure. In the last part of this study, both the local and the non-local versions of the model are efficiently implemented in a commercial finite element code (ABAQUS). The models are used for the numerical solution of boundary value problems (BVPs) related to forming and ductile fracture processes under both quasi-static and dynamic conditions. In particular, the industrially relevant problems of Hole expansion (HET) and Charpy impact (CVN) test, the "cup-and-cone" fracture phenomenon as well as ductile fracture of a specimen with complex geometry and comparison with corresponding experimental results are analyzed in detail. Numerical predictions in all cases indicate that ductility is an increasing function of the void shape parameter and materials comprising flat oblate voids of low aspect ratio exhibit early macroscopic crack initiation and propagation compared to materials with spherical/almost spherical voids. Finally, the model's capability to reproduce experimental results with sufficient accuracy suggests that it can be utilized to provide predictions with only a small amount of parameters that may be calibrated from either micromechanics calculations or experimental data.

Η παρούσα εργασία ασχολείται με την ανάπτυξη, βαθμονόμηση και αριθμητική υλοποίηση ενός νέου ισότροπου, ελαστοπλαστικού, ανεξάρτητου του ρυθμού παραμόρφωσης (rate-independent) μοντέλου για πορώδη μεταλλικά υλικά. Γίνεται η υπόθεση ότι η μικροδομή αποτελείται από μια τυχαία (με ομοιόμορφη πιθανότητα) κατανομή σφαιροειδών πόρων ίδιου σχήματος αλλά με τυχαίο προσανατολισμό. Το προτεινόμενο μοντέλο βασίζεται σε προηγούμενες εκτιμήσεις ομογενοποίησης που χρησιμοποιούν τη θεωρία του «σύνθετου υλικού αναφοράς» (Linear Comparison Composite). Οι προκύπτουσες εκφράσεις εμφανίζουν την απλότητα του γνωστού μοντέλου Gurson και, ως εκ τούτου, η αριθμητική τους υλοποίηση σε ένα κώδικα πεπερασμένων στοιχείων είναι απλή. Για την αξιολόγηση της ακρίβειας του αναλυτικού μοντέλου, πραγματοποιούμε λεπτομερείς προσομοιώσεις πεπερασμένων παραμορφώσεων, τρισδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων σε «αντιπροσωπευτικά στοιχεία όγκων» (Representative Volume Elements) με τις αντίστοιχες μικροδομές. Η κατάλληλη βαθμονόμηση των παραμέτρων του μοντέλου οδηγεί σε αρκετά ακριβή συμφωνία των αναλυτικών προβλέψεων με τις αντίστοιχες μέσες τάσεις και την εξέλιξη του πορώδους που προκύπτουν από τις αναλύσεις πεπερασμένων στοιχείων. Δείχνουμε, τόσο αναλυτικά όσο και αριθμητικά, ότι το αρχικό σχήμα των πόρων έχει σημαντική επίδραση στην μακροσκοπική απόκριση του πορώδους υλικού, οδηγώντας σε εξαιρετικά μαλακές αποκρίσεις για μικροπόρους επίπεδου σχήματος, ειδικά σε υψηλές τριαξονικότητες τάσεων. Στη συνέχεια, εξετάζουμε τα υπολογιστικά ζητήματα που σχετίζονται με την αριθμητική υλοποίηση καταστατικών μοντέλων ανεξάρτητων του ρυθμού παραμόρφωσης που οδηγούν σε πράϋνση (softening). Δείχνουμε ότι τα ελαστοπλαστικά μοντέλα που βασίζονται στις λεγόμενες «τοπικές» θεωρίες και που δεν ενσωματώνουν κάποιο χαρακτηριστικό μήκος μπορεί να οδηγήσουν σε απώλεια της ελλειπτικότητας των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) που περιγράφουν το πρόβλημα και σε λύσεις εξαρτώμενες από το πλέγμα. Για την αντιμετώπιση των σχετικών αριθμητικών ζητημάτων προτείνουμε μια «κανονικοποιημένη» (regularized) εκδοχή του πορώδους μοντέλου που αναπτύχθηκε σε αυτήν την εργασία, η οποία βασίζεται στην εισαγωγή μιας μη-τοπικής μεταβλητής που προσδιορίζεται από τη λύση μιας επιπλέον ΜΔΕ. Δείχνουμε, τόσο αναλυτικά όσο και αριθμητικά, ότι η κανονικοποιημένη εκδοχή του μοντέλου επιτρέπει τη διατήρηση της ελλειπτικότητας των ΜΔΕ, καθώς και την επίτευξη αριθμητικών λύσεων ανεξάρτητων της χωρικής διακριτοποίησης. Το χαρακτηριστικό μήκος που εισάγεται από τη μη-τοπική διατύπωση βρέθηκε να έχει ελάχιστη επίδραση στο προβλεπόμενο σημείο διακλάδωσης της λύσης (bifurcation point), επηρεάζοντας μόνο τη μετά τη διακλάδωση κλίση της μακροσκοπικής καμπύλης τάσης-παραμόρφωσης και το μέγεθος της έντονα παραμορφωμένης ζώνης στην κατασκευή. Στο τελευταίο μέρος αυτής της μελέτης, τόσο οι τοπικές όσο και οι μη-τοπικές εκδοχές του μοντέλου υλοποιούνται σε ένα εμπορικό λογισμικό πεπερασμένων στοιχείων (ABAQUS). Τα μοντέλα χρησιμοποιούνται για την αριθμητική επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών (ΠΣΤ) που σχετίζονται με κατεργασίες διαμορφώσεως καθώς και προβλήματα όλκιμης θραύσης τόσο υπό οιονεί-στατικές (quasi-static) όσο και υπό δυναμικές (dynamic) συνθήκες. Συγκεκριμένα, τα βιομηχανικά σχετιζόμενα προβλήματα της διεύρυνσης οπών (Hole Expansion Test) και της δοκιμής πρόσκρουσης Charpy (Charpy V-Notch Test), το φαινόμενο θραύσης “cup-and-cone” καθώς και η ελαστοπλαστική θραύση ενός δοκιμίου με μη-συμβατική γεωμετρία και σύγκριση με αντίστοιχα πειραματικά αποτελέσματα αναλύονται λεπτομερώς. Οι αριθμητικές προβλέψεις σε όλες τις περιπτώσεις δείχνουν ότι η μακροσκοπική ολκιμότητα του υλικού είναι αύξουσα συνάρτηση της παραμέτρου σχήματος των πόρων. Τα υλικά που περιέχουν σχεδόν επίπεδους μικροπόρους παρουσιάζουν πρώιμη έναρξη και εξάπλωση μακροσκοπικών ρωγμών σε σύγκριση με υλικά που περιέχουν σφαιρικούς/σχεδόν σφαιρικούς πόρους. Τέλος, η ικανότητα του μοντέλου να αναπαράγει πειραματικά αποτελέσματα με επαρκή ακρίβεια υποδηλώνει ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παροχή προβλέψεων με μόνο ένα μικρό αριθμό παραμέτρων, οι οποίες μπορούν να βαθμονομηθούν είτε από μικρομηχανικούς υπολογισμούς είτε από διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα.

Ce travail porte sur le développement, la calibration et l'implémentation numérique d'un nouveau modèle élastoplastique entièrement explicite, isotrope et indépendant du taux de déformation pour les matériaux métalliques poreux. La microstructure est supposée être constituée d'une distribution aléatoire de vides sphéroïdaux de même forme, orientés de manière aléatoire et avec une probabilité uniforme. Le modèle proposé est basé sur des estimations d'homogénéisation antérieures qui utilisent une théorie de comparaison composite linéaire (LCC). Pour évaluer l'exactitude du modèle analytique, nous réalisons des simulations éléments finis tridimensionnelles à grandes déformations d'éléments de volume représentatifs (RVE) avec les microstructures correspondantes. Une calibration appropriée des paramètres du modèle conduit à un accord assez précis des prédictions analytiques avec les contraintes moyennes éléments finis et l'évolution de la porosité. Nous montrons, à la fois analytiquement et numériquement, que le rapport d'aspect initial des vides a un effet significatif sur la réponse effective homogénéisée du matériau poreux, entraînant des réponses extrêmement souples pour les vides très oblates, surtout à des triaxialités de contraintes élevées. Ensuite, nous examinons les problèmes computationnels liés à l'implémentation numérique de modèles constitutifs indépendants du taux de déformation qui conduisent à un comportement d'adoucissement. Il est démontré analytiquement que les modèles élastoplastiques basés sur des formulations continues "locales" peuvent entraîner une perte d'ellipticité des équations aux dérivées partielles (EDP) et des solutions numériques dépendantes du maillage. Pour remédier les problèmes numériques associés, nous proposons une version implicite non locale du nouveau modèle poreux, basée sur l'introduction d'une variable de porosité non locale déterminée à partir de la solution d'une EDP supplémentaire. Nous montrons à la fois analytiquement et numériquement que la version régularisée du modèle permet de préserver les propriétés elliptiques des équations du problème, produisant des solutions convergentes indépendantes du maillage dans le régime post-bifurcation. Le point de bifurcation s'avère être fortement dépendant de la forme des micro-vides, avec des vides très plats (par exemple, un rapport d'aspect inférieur à 0,3) entraînant des déformations à la localisation plus faibles. Il est constaté que la longueur matérielle introduite par la formulation non locale a un effet minimal sur le point de bifurcation prédit, affectant uniquement le gradient post-bifurcation de la courbe contrainte-déformation macroscopique et la taille de la zone fortement déformée dans la structure. Dans la dernière partie de cette étude, les versions locale et non locale du modèle sont efficacement implémentées dans un code commercial d'éléments finis (ABAQUS) et utilisés pour la solution numérique de problèmes de valeurs limites liés aux processus de formage et de rupture ductile. En particulier, les problèmes de test d'expansion de trou (TET) et de test d'impact Charpy (essai Charpy), le phénomène de rupture ''cup-and-cone'' ainsi que la rupture ductile d'un spécimen à géométrie complexe et la comparaison avec les résultats expérimentaux correspondants sont analysés en détail. Les prédictions numériques indiquent que la ductilité est une fonction croissante du paramètre de forme des vides, et les matériaux composés de vides oblates de faible rapport d'aspect présentent une initiation et une propagation macroscopiques de fissures prématurées par rapport aux matériaux avec des vides sphériques ou presque sphériques. Enfin, la capacité du modèle à reproduire les résultats expérimentaux avec une précision suffisante suggère qu'il peut être utilisé pour fournir des prédictions avec seulement un petit nombre de paramètres qui peuvent être calibrés à partir de calculs micromécaniques ou de données expérimentales.