Essays on optimal investments for pension funds

Abstract

The whole research falls under the general subject of modeling the optimal investment strategies of pension funds and the assessment of pension plans’ value. This Ph.D thesis is a collection of three different papers with significant contributions. The Chapter with the title: “Valuation of Pension Plans in Discrete Incomplete Markets”, focuses on the valuation of the pension plan that is designed for an individual pension member and examines how the pension fund manager’s motives may increase the undertaking risk. In our model, we with-draw the highly unrealistic assumption of market completeness and address the tasks assuming that the promised payoff to the pension member at his/her retirement day is unhedgeable. For this, we propose an alternative path than the ones taken by the related literature; namely, we consider an incomplete market- model in a finite space and discrete time. The simplest version of this model is a trinomial tree, which can be seen as a natural incomplete version of the binomial model. The first goal is to find the minimum cost of the portfolio that achieves the pension plan’s payoff a.s. (i.e., the super-hedging value), taking into account the special features of the admissible strategies and the nature of the capital inflows from the member’s contributions. The second goal is to examine the incentives of the pension fund manager, who gets extra compensation in case of surplus (i.e., when the wealth at the terminal time is higher than the promised liability). The Chapter with the title: “Backward and Forward Optimization for Pension Funds”, analyzes two different optimization approaches, the widely-used and well-known “Backward Utility Optimization”, where we make focus on specific cases according to portfolio’s form, and the “Forward Utility Optimization”, an issue that while has been studied by several authors, a model that is dedicated to pension funds with specific characteristic has not been established. We first study the classical backward utility optimization problem for individuals, and then we offer our own view on the problem using a forward approach as it is introduced by Musiela and Zariphopoulou. The last part of that chapter, intents to introduce to the literature an alternative model for a pension’s fund investment policy that produces time-consistent portfolio strategies. The Chapter with the title: “Forward Utility Process for Collective Pension Funds”, which is the last part of this thesis, deals with the forward utility process for collective pension fund investment strategies (both for DC and DB). The main goals are to (i) find the necessary conditions for the characterization of the solution interms of random partial differential equations, (ii) examine whether well-known special cases of initial utility (e.g. exponential) allows us to get explicit expressions of the optimal portfolio.

Ολόκληρη η έρευνα εμπίπτει στο γενικό θέμα της μοντελοποίησης της βέλτιστης επενδυτικής στρατηγικής των συνταξιοδοτικών ταμείων και την αξιολόγηση της τιμής των συνταξιοδοτικών πλάνων. Αυτή η διδακτορική διατριβή είναι μια συλλογή τριών διαφορετικών εργασιών με σημαντικές συνεισφορές. Το Κεφάλαιο με τίτλο: «Αποτίμηση Συνταξιοδοτικών Πλάνων σε Διακριτές μη Πλήρεις Αγορές», εστιάζει στην αποτίμηση του συνταξιοδοτικού πλάνου που έχει σχεδιαστεί για ένα μεμονωμένο συνταξιοδοτικό μέλος και εξετάζει πώς τα κίνητρα του διαχειριστή του συνταξιοδοτικού ταμείου μπορούν να οδηγήσουν σε αύξηση του κινδύνου που αναλαμβάνει. Στο μοντέλο μας υποθέτουμε το ρεαλιστικό σενάριο της μη πλήρους αγοράς και θεωρούμε οτι η υποσχεθείσα σύνταξη στο συνταξιοδοτικό μέλος την ημέρα της συνταξιοδότησής του είναι μη αντισταθμίσιμη. Για αυτό, προτείνουμε έναν εναλλακτικό τρόπο από αυτούς που ακολουθούν στη σχετική βιβλιογραφία. Δηλαδή, θεωρούμε ένα μοντέλο μη πλήρους αγοράς σε έναν πεπερασμένο χώρο και διακριτό χρόνο. Η απλούστερη εκδοχή αυτού του μοντέλου είναι ένα τριωνυμικό δέντρο, το οποίο μπορεί να θεωρείται ως μια φυσική μη πλήρης εκδοχή του διωνυμικού μοντέλου. Ο πρώτος στόχος είναι να βρεθεί το ελάχιστο κόστος του χαρτοφυλακίου που επιτυγχάνει την απόδοση του συνταξιοδοτικού πλάνου. Ο δεύτερος στόχος είναι να εξεταστούν τα κίνητρα του διαχειριστή του συνταξιοδοτικού ταμείου, ο οποίος παίρνει επιπλέον αποζημίωση σε περίπτωση πλεονάσματος (δηλαδή, όταν ο πλούτος στον τερματικό χρόνο είναι υψηλότερος από την υποσχεθείσα υποχρέωση). Το Κεφάλαιο με τίτλο: «Βελτιστοποίηση "Προς τα Πίσω" (Backward) και "Προς τα Εμπρός" (Forward) για τα Συνταξιοδοτικά Ταμεία», αναλύει δύο διαφορετικές προσεγγίσεις βελτιστοποίησης, την ευρέως χρησιμοποιούμενη "Backward Utility Optimization", όπου εστιάζουμε σε συγκεκριμένες περιπτώσεις σύμφωνα με τη μορφή του χαρτοφυλακίου και το «Forward Utility Optimization», ένα ζήτημα που ενώ έχει μελετηθεί από αρκετούς συγγραφείς, ένα μοντέλο που να είναι αφιερωμένο στα συνταξιοδοτικά ταμεία με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά δεν έχει τεκμηριωθεί. Αρχικά μελετάμε την κλασική μέθοδο του Backward Utility Optimization για μεμονωμένα συνταξιοδοτικά μέλη και στη συνέχεια μελετάμε το Forward Utility Optimization με το οποίο εισάγουμε ένα εναλλακτικό μοντέλο για την επενδυτική πολιτική ενός συνταξιοδοτικού ταμείου που παράγει χρονικά συνεπής στρατηγικές χαρτοφυλακίου. Το Κεφάλαιο με τίτλο: «Forward Συναρτήσεις Χρησιμότητας για Συλλογικά Συνταξιοδοτικά Ταμεία», ασχολείται με τη διαδικασία εύρεσης της forward συνάρτησης χρησιμότητας για επενδυτικές στρατηγικές συλλογικών συνταξιοδοτικών ταμείων (τόσο για την DC όσο και για την DB). Οι κύριοι στόχοι είναι (i) να βρεθούν οι απαραίτητες προϋποθέσεις για τον χαρακτηρισμό της λύσης σε όρους τυχαίων μερικών διαφορικών εξισώσεων, (ii) να εξεταστεί εάν γνωστές ειδικές περιπτώσεις αρχικής χρησιμότητας (π.χ. εκθετική) μας επιτρέπει να λαμβάνουμε σαφείς εκφράσεις του βέλτιστου χαρτοφυλακίου.