Ισορροπία και ευστάθεια μαγνητικά περιορισμένου πλάσματος στα πλαίσια γενικευμένων μαγνητοϋδροδυναμικών μοντέλων, μέσω χαμιλτονιανών παραλλακτικών αρχών

Abstract

In this thesis, equilibrium equations and sufficient stability criteria for stationary states of magnetically confined plasmas are derived via Hamiltonian methods. These methods originate from the Hamiltonian structure of extended Magnetohydrodynamics (XMHD) a simplified, quasineutral, two-fluid model that takes into account contributions due to ion Hall drifts and finite electron inertia. More specifically, the noncanonical Hamiltonian formulation of XMHD is adapted for the description of systems with continuous spatial symmetry upon reducing the three-dimensional Poisson bracket to the corresponding helically symmetric bracket. Helical symmetry is a generic case including bothtranslation and axial symmetry as special cases. The latter is particularly interesting for the study oftoroidal systems for magnetic confinement, such as the Tokamak, and also for astrophysical plasmas. By the helically symmetric Poisson bracket, we compute the corresponding Casimir functionals, that Poisson-commute with any arbitrary functional of the dynamical variables, thus being invariant quantities. The Casimirs, along with the Hamiltonian, are then used to employ the energy-Casimir variational principle resulting in a set of equilibrium equations that are cast in the form of a GradShafranov-Bernoulli (GSB) system. Special cases are considered, e.g., the corresponding axisymmetric system of equations, whose ellipticity condition is derived. Moreover, neglecting electron inertia, we compute a numerical, axisymmetric equilibrium in connection with the so-called improved confinement modes observed in Tokamaks. Regarding stability, within the noncanonical Hamiltonian framework, we obtain sufficient stability criteria using the energy-Casimir and the dynamically accessible stability methods. The former is exploited for assessing the stability of Tokamak, Hall MHD (HMHD) equilibria with toroidal rotation. In addition, employing the Lagrangian description for fluid dynamics, sufficient stability criteria under Lagrangian displacements are derived for the generic, quasineutral, two-fluid model and also for HMHD. The characteristics of each method are thoroughly discussed. Lastly, we propose an alternative description of incompressible XMHD in terms of trilinear brackets and a heuristic procedure for constructing two-dimensional dynamical models upon imposing a priori the conservation of the Hamiltonian and Casimir invariants.

Στην παρούσα διατριβή παράγονται εξισώσεις ισορροπίας και ικανές συνθήκες ευστάθειας στάσιμωνκαταστάσεων μαγνητικά περιορισμένου πλάσματος, μέσω Χαμιλτονιανών μεθόδων. Αυτές πηγάζουναπό τη Χαμιλτονιανή δομή της γενικευμένης Μαγνητοϋδροδυναμικής (ΓΜΥΔ), ενός απλοποιημένου,οιονεί ουδέτερου μοντέλου δύο ρευστών που περιλαμβάνει συνεισφορές λόγω ιοντικών ολισθήσεωνHall και ηλεκτρονίων πεπερασμένης αδράνειας. Πιο συγκεκριμένα, ο μη κανονικός Χαμιλτονιανόςφορμαλισμός της ΓΜΥΔ προσαρμόζεται για την περιγραφή συστημάτων με συνεχή χωρική συμμετρία καθώς η τρισδιάστατη αγκύλη Poisson ανάγεται στην αντίστοιχη ελικοειδώς συμμετρική αγκύλη. Η ελικοειδής συμμετρία αποτελεί μία γενικευμένη περίπτωση η οποία περιέχει τόσο τη μεταφορική όσο και την αξονική συμμετρία ως υποπεριπτώσεις. Η τελευταία παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη μελέτη του πλάσματος σε τοροειδή συστήματα μαγνητικού περιορισμού, όπως το Tokamak, αλλά και του αστροφυσικού πλάσματος. Μέσω της ελικοειδώς συμμετρικής αγκύλης υπολογίζουμε τα αντίστοιχα συναρτησιακά Casimir, τα οποία μετατίθενται με κάθε αυθαίρετο συναρτησιακό των δυναμικών μεταβλητών και ως εκ τούτου αποτελούν αναλλοίωτες ποσότητες. Τα Casimirs και το συναρτησιακό της Χαμιλτονιανής χρησιμοποιούνται για την εφαρμογή της παραλλακτικής αρχής energy-Casimir απο την οποία προκύπτουν γενικευμένες εξισώσεις ισορροπίας που στη συνέχεια γράφονται στη μορφή ενός συστήματος τύπου Grad-Shafranov-Bernoulli. Επίσης μελετώνται ειδικές περιπτώσεις, όπως το αντίστοιχο αξονικά συμμετρικό σύστημα, για το οποίο παράγεται η συνθήκη ελλειπτικότητας. Επιπρόσθετα, αμελώντας την αδράνεια των ηλεκτρονίων υπολογίζουμε μια αριθμητική, αξονικά συμμετρική ισορροπία σε συνάρτηση με τους λεγόμενους βελτιωμένους τρόπους περιορισού που παρατηρούνται στο Tokamak. Όσον αφορά την ευστάθεια, στα πλαίσια της μη κανονικής Χαμιλτονιανής περιγραφής, εξάγουμε ικανές συνθήκες ευστάθειας χρησιμοποιώντας τόσο τη μέθοδο energy-Casimir όσο και τη μέθοδο των δυναμικά προσβάσιμων διαταραχών. Η πρώτη εφαρμόζεται για τη μελέτη της ευστάθειας ισορροπιών Tokamak με τοροειδή ροή, στο όριο της μαγνητοϋδροδυναμικής Hall. Επιπλέον, εφαρμόζοντας τη Λαγκρανζιανή περιγραφή για τη δυναμική των ρευστών παράγονται ικανά κριτήρια ευστάθειας, κάτω από Λαγκρανζιανές μετατοπίσεις, για το γενικό, οιονεί ουδέτερο μοντέλο δύο ρευστών και για τη μαγνητοϋδροδυναμική Hall. Τα χαρακτηριστικά της κάθε μεθόδου συζητούνται εμβριθώς. Τέλος, προτείνουμε μια εναλλακτική περιγραφή της ασυμπίεστης ΓΜΥΔ μέσω τριγραμμικών αγκυλών και μια ευρετική μέθοδο για την κατασκευή διδιάστατων δυναμικών μοντέλων επιβάλλοντας εκ των προτέρων τη διατήρηση της Χαμιλτονιανής και των αναλλοίωτων Casimir.