Μελέτη ισορροπίας και ευστάθειας ελικοειδώς συμμετρικού μαγνητισμένου πλάσματος

Abstract

In this thesis the equilibrium and stability properties of a helically symmetric magnetized plasma with pressure anisotropy and incompressible flow are investigated. Helical symmetry consists of the most generic case of continuous geometrical symmetry including both the translational and axial symmetry as special cases. The main novel contribution is the derivation of a generalized Grad-Shafranov equation governing pertinent equilibria with flow of arbitrary direction, in connection with the steady states of two-dimensional ‘straight stellarators’ as well as of helically symmetric astrophysical jets. This equation includes six free surface functions and recovers known Grad-Shafranov-like equations in the literature as well as the usual static, isotropic one. In addition, a new class of analytical solutions of the aforementioned equation is obtained and specific equilibria are constructed for a plasma surrounded by a fixed boundary, and the impact of both pressure anisotropy and mass flow on their physical properties is examined. Also specific families of incompressible magnetohydrodynamic equilibria in which two out of the magnetic field, velocity, current density and vorticity vectors are specially related, including the ‘force-free’ and Beltrami cases, are studied. Furthermore, the symmetry transformations for magnetohydrodynamic equilibria with isotropic pressure and incompressible flow with collinear velocity and magnetic fields introduced by Bogoyavlenskij are generalized in the case of the respective Chew-Goldberger-Low equilibria with anisotropic pressure. It is proved that the geometrical symmetry of an initial equilibrium can be violated by those transformations only when the magnetic and velocity fields are purely poloidal. In this case three-dimensional equilibria from given axisymmetric ones are constructed. Regarding stability, a sufficient condition for the linear stability of plasma equilibria with incompressible flow parallel to the magnetic field, constant mass density and anisotropic pressure such that the ratio of the difference between the scalar pressures in the directions parallel and perpendicular to the magnetic field over the magnetic pressure remains constant, is derived. This condition is applicable to any steady state without geometrical restriction and involves physically interpretable terms related to the magnetic shear, the flow shear and the variation of total pressure perpendicular to the magnetic surfaces. On the basis of this condition the impact of pressure anisotropy, flow, and torsion of a helical magnetic axis on the stability properties of a specific class of analytic equilibria is examined.

Στη παρούσα διατριβή γίνεται μελέτη της ισορροπίας και της ευστάθειας μαγνητικά περιορισμένουπλάσματος, ελικοειδώς συμμετρικού, παρουσία ανισότροπης πίεσης και ροής μάζας. Η ελικοειδήςσυμμετρία αποτελεί μια γενική περίπτωση γεωμετρικής συμμετρίας η οποία περιλαμβάνει τηνμεταφορική και την αξονική συμμετρία ως ειδικές περιπτώσεις. Κύρια συνεισφορά της μελέτης αυτήςαποτελεί η παραγωγή μιας γενικευμένης εξίσωσης Grad-Shafranov που διέπει την ισορροπίαπλάσματος με ανισότροπη πίεση και ροή τυχαίας διεύθυνσης. Για τις ανάγκες της παραγωγής αυτής η ισότροπη πίεση στα πλαίσια του μοντέλου της Μαγνητοϋδροδυναμικής (ΜΥΔ) αντικαθίσταται από τον τανυστή πίεσης Chew-Goldberger-Low (CGL). Κατόπιν, με τη μέθοδο γενικευμένων δυναμοσειρών παράγονται αναλυτικά λύσεις της προαναφερόμενης εξίσωσης, με βάση τις οποίες κατασκευάζονται ισορροπίες πλάσματος που περιγράφουν προσεγγιστικά στο όριο πολύ μεγάλου λόγου όψεων το σύστημα μαγνητικού περιορισμού Stellarator, ενώ μελετάται η επίδραση τόσο της ροής όσο και της ανισοτροπίας της πίεσης στα χαρακτηριστικά των νέων ισορροπιών μέσω φυσικών ποσοτήτων. Επίσης μελετώνται ειδικές περιπτώσεις ισορροπιών στις οποίες το μαγνητικό πεδίο, η ταχύτητα, η πυκνότητα ρεύματος και η στροβιλότητα ικανοποιούν ανά δύο ειδικές σχέσεις μεταξύ τους. Επιπρόσθετα, στα πλαίσια των μοντέλων ιδανικής ΜΥΔ και CGL μελετώνται οι μετασχηματισμοί συμμετρίας Bogoyavlenskij. Συγκεκριμένα, γίνεται γενίκευση των μετασχηματισμών που εφαρμόζονται σε αρχική ΜΥΔ ισορροπία με ροή παράλληλη στο μαγνητικό πεδίο και παράγουν νέα ΜΥΔ ισορροπία με εν γένει συμπιεστή ροή, στην περίπτωση ανισότροπης πίεσης. Οι νέοι μετασχηματισμοί εφαρμόζονται σε αρχική CGL ισορροπία με παράλληλη ροή στην οποία η συνάρτηση ανισοτροπίας είναι ποσότητα επιφάνειας και δημιουργούν νέα κλάση ισορροπιών CGL στις οποίες η συνάρτηση ανισοτροπίας μπορεί να μεταβάλλεται πάνω στις μαγνητικές επιφάνειες. Ακολούθως, αποδεικνύεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις μετασχηματισμών, η γεωμετρική συμμετρία μιας γνωστής ισορροπίας μπορεί να παραβιαστεί μέσω αυτών αν και μόνο αν αυτή έχει παράλληλη ροή και αμιγώς πολοειδές μαγνητικό πεδίο, ενώ σε κάθε άλλη περίπτωση οι μετασχηματισμένες ισορροπίες διατηρούν την αρχική συμμετρία. Στην περίπτωση αυτή κατασκευάζεται τρισδιάστατη ισορροπία από γνωστή, αξονικά συμμετρική αρχική ισορροπία. Οσον αφορά στην ευστάθεια, παράγεται μια σχετική ικανή συνθήκη η ́οποία μπορεί να εφαρμοστεί σε ισορροπία με ασυμπίεστη ροή παράλληλη στο μαγνητικό πεδίο, σταθερή πυκνότητα μάζας και σταθερή συνάρτηση ανισοτροπίας, ώστε να μελετηθεί η γραμμική της ευστάθεια. Με βάση την συνθηκή αυτή αποδεικνύεται ότι εάν μια αρχική ισορροπία με παράλληλη ροή, είτε ισότροπη είτε ανισότροπη, είναι γραμμικά ευσταθής, τότε θα είναι επίσης και όλες οι νέες ισορροπίες που προκύπτουν από την εφαρμογή των μετασχηματισμών συμμετρίας στην αρχική ισορροπία όταν μια εμπλεκόμενη παράμετρος είναι θετική. Τέλος, η προαναφερθείσα συνθήκη εφαρμόζεται σε γνωστή κλάση ελικοειδώς συμμετρικών ισορροπιών και μελετάται η επίδραση της ροής, της ανισοτροπίας πίεσης και της στρέψης ενός ελικοειδούς μαγνητικού άξονα στην γραμμική ευστάθεια αυτών των ισορροπιών.