Ντετερμινιστικές και στοχαστικές ολοκληρωτικοδιαφορικές εξισώσεις Sobolev με εφαρμογές στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία σύνθετων υλικών

Abstract

After a short introduction in stochastic analysis and stochastic differential equations in separable and infinite dimensional Hilbert spaces, in this thesis the following are studied and proved. – In Chapter 2. The well-posedness of the Cauchy problem for Sobolev type equations (Lu)’ = Mu + f, and for the corresponding stochastic equations d(Lu = (Mu + f) dt + BdWt, where Wt is an infinite dimensional Wiener process. – In Chapter 3 the well-posedness of the Cauchy problem for integrodifferential equations u’ = Mu + f + Ktu, and for the corresponding stochastic equations of the form du = Uu + f + Ktu) dt + B(u)dWt, where by Ktu is denoted the time convolution Ktu = ∫0+ K(t-s) u(s)ds. – In Chapter 4: The well-posedness of the Cauchy problem for two systems of equations that arise from the propagation of electromagnetic waves in chiral media in particular the system of Maxwell’s equations under 1) the full constitutive relations for chiral media, 2) the Drude-Born-Fedorov constitutive relations (the -so called- DBF model).

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, μετά από μια σύντομη εισαγωγή στη στοχαστική ανάλυση και τις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις σε απειροδιάστατους και διαχωρίσιμους χώρους Hilbert, μελετώνται και αποδεικνύονται τα παρακάτω. – Στο κεφάλαιο 2 η καλή τοποθέτηση σε χώρους Hilbert προβλημάτων αρχικών τιμών για εξισώσεις τύπου Sobolev: (Lu)’ = Mu + f, καθώς και για τις αντίστοιχες στοχαστικές εξισώσεις d(Lu = (Mu + f) dt + BdWt, όπου η Wt είναι μια απειροδιάστατη διαδικασία Wiener. – Στο κεφάλαιο 3 η καλή τοποθέτηση σε χώρους Hilbert προβλημάτων αρχικών τιμών για ολοκληρωτικοδιαφορικές εξισώσεις u’ = Mu + f + Ktu, καθώς και για τις αντίστοιχες στοχαστικές εξισώσεις du = Uu + f + Ktu) dt + B(u)dWt, όπου με Ktu δηλώνεται η χρονική συνέλιξη Ktu = ∫0+ K(t-s) u(s)ds. – Στο κεφάλαιο 4 ως εφαρμογές των παραπάνω, αποδεικνύεται η καλή τοποθέτηση δύο προβλημάτων αρχικών-συνοριακών τιμών που αφορούν τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε χειρόμορφα υλικά: συγκεκριμένα του συστήματος των εξισώσεων Maxwell πλαισιωμένου 1) από τις πλήρεις καταστατικές εξισώσεις των υλικών αυτών, 2) από τις εξισώσεις DBF.