Σύνολα Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας και αριθμητικά πεδία

Abstract

In this thesis we generalize the notion of the numerical range of a square matrix in the case of rectangular matrices. In the sequel we make a connection between the new definition and the notion of the Birkhoff-James ε-orthogonality and we define the Birkhoff-James ε-orthogonality sets for rectangular matrices and we study these set's properties. Moreover, we bring the notion of the Birkhoff-James ε-orthogonality set to the case of rectangular matrix polynomials, and we prove basic properties for these sets while making comments about the way they generalize the clasic numerical range of square matrix polynomials. Finally, we present an algorithm for solving an inverse problem concering the clasic numerical range of a square matrix.

Στη παρούσα διδακτορική διατριβή γενικεύουμε την έννοια του αριθμητικού πεδίου τετραγωνικών πινάκων στους όχι κατ' ανάγκη τετραγωνικούς πίνακες. Στη συνέχεια συνδέουμε τον νέο ορισμό με την έννοια της Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας και οριζουμε τα σύνολα Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας για όχι κατ' ανάγκη τετραγωνικούς πίνακες και μελετάμε σε βάθος τις ιδιότητες των συνόλων αυτών. Επιπλέον μεταφέρουμε την έννοια του συνόλου Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας και στην περίπτωση των πολυωνυμικών πινάκων, όχι κατ' ανάγκη τετραγωνικών, και για τα σύνολα αυτά αποδεικνείουμε βασικές ιδιότητες και σχολιάζουμε τον τρόπο με τον οποίο συνδέονται με το κλασικό αριθμητικό πεδίο τετραγωνικού πολυωνυμικού πίνακα. Τέλος στα πλαίσια της διατριβής παρουσιάζουμε και έναν αλγόριθμο για την επίλυση ενός αντιστρόφου προβλήματος για το κλασικό αριθμητικό πεδίο τετραγωνικού πίνακα.