Quaternion polynomials and rational rotation minimizing frame curves

Abstract

The study of frames associated with a spatial curve is an active research field. More precisely, the attention has focused on adapted frames, whose one of the vectors of the orthonormal triple coincides with the curve unit tangent at each point. Among the adapted frames, the rotation--minimizing frame (RMF) is useful for applications such as swept surfaces constructions and animation, since it executes the least possible frame rotation along the curve. Rational representation of RMF is desirable in computer aided design applications. Hence, recent studies focus on rational rotation--minimizing frames (RRMFs) and moreover on the identification, characterization and construction of curves with RRMFs. The curves with rational adapted frames are necessarily curves with rational unit tangent vector, known as Pythagorean--hodograph (PH) curves. The quaternion and Hopf map forms are two alternative models for the representation of PH curves. Rotation--minimizing frames are not in general rational, even for PH curves. The Euler--Rodrigues frame (ERF), which is always defined on a PH curve and is rational by its construction, is a good reference for identifying rational RMFs on PH curves. The ERF is not in general an RMF. The simplest non--planar curves for which the ERF can be an RMF are of degree 7. In the present thesis we give a characterization of degree 7 spatial PH curves with rotation--minimizing Euler--Rodrigues frame using both the quaternion and Hopf map forms. Further, we deal with the quintic PH curves and investigate conditions under which a quintic is an RRMF curve of particular type in terms of the quaternion and Hopf map form. Since quaternion polynomials generate the hodographs of the PH curves, we also focus on the study of the quaternion algebra and present results pertinent in the study of RRMF curves. An algorithm for the roots of quadratic quaternion polynomials is presented and used to analyze the root structure of polynomials that generate quintic curves with RRMFs. Finally, we prove that PH curves with non--primitive hodographs are those whose its associated quaternion polynomial has a right complex factor and we see that such curves are regular curves.Further, we give necessary and sufficient conditions for a quaternion polynomial to have a right complex factor. Throughout this study we also identify and characterize some particular types of PH curves which are generated by others of lower degree.

Η μελέτη των συστημάτων συντεταγμένων ή πλαισίων (frames) τα οποίαορίζονται πάνω σε μία χωροκαμπύλη αποτελεί ένα πολύ ενδιαφέρον επιστημονι-κό πεδίο έρευνας. Πιο συγκεκριμένα, ενδιαφερόμαστε για εκείνα τα πλαίσια ταοποία είναι ορθοκανονικά και στα οποία το ένα από τρία διανύσματα συμπίπτειμε το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης, σε κάθε σημείο της. Τέτοια πλαίσιατα ονομάζουμε προσαρμοσμένα πλαίσια και μεταξύ αυτών ενδιαφερόμαστε ιδιαι-τέρως για τα πλαίσια ελάχιστης περιστροφής (RMF) τα οποία έχουν εξαιρετικάσημαντικές εφαρμογές, αφού εκτελούν την ελάχιστη περιστροφή κατα μήκοςτης καμπύλης. Ρητές αναπαραστάσεις των RMF ειναι επιθυμητές στις εφαρ-μογές, και έτσι οι τελευταίες έρευνες έχουν επικεντρωθεί στην μελέτη τέτοιωνπλαισίων- που καλούνται RRMF - και κυρίως στον προσδιορισμό, χαρακτηρι-σμό και κατασκευή καμπυλών στα οποία μπορούν να οριστούν RRMF πλαίσια.Αυτές οι καμπύλες πρέπει απαραιτήτως να είναι καμπύλες με ρητό εφαπτομενικόμοναδιαίο διάνυσμα, οι οποίες είναι γνωστές ως καμπύλες με πυθαγόρεια οδο-γραφήματα (PH καμπύλες). Χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα με συντελεστέςτετραδικούς αριθμούς (quaternions) ή εναλλακτικά την απεικόνιση Hopf μπο-ρούμε να αναπαραστήσουμε τις PH καμπύλες. ΄Ομως, ακόμα και στις PH καμ-πύλες ένα RMF, δεν είναι πάντοτε ρητό. Το Euler–Rodrigues πλαίσιο (ERF)που ορίζεται σε κάθε PH καμπύλη και είναι εκ κατασκευής ρητό, αποτελεί μίακαλή αναφορά για τον προσδιορισμό RRMF στις PH καμπύλες. Το ERF δενείναι εν γένει RMF. Οι μικρότερου βαθμού μη επίπεδες καμπύλες για τις οποίεςτο ERF μπορεί να είναι RMF είναι οι καμπύλες 7ου βαθμού.Στην παρούσα διατριβή δίνουμε ένα χαρακτηρισμό των PH καμπυλών 7ουβαθμού στις οποίες το ERF είναι ένα RMF, χρησιμοποιώντας και τις δύο ι-σοδύναμες μορφές αναπαράστασης των. Επιπλέον, ασχολούμαστε με τις PHκαμπύλες 5ου βαθμού και ερευνούμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία τέ-τοια καμπύλη είναι RRMF συγκεκριμένης κατηγορίας. Επίσης, μελετάμε ταπολυώνυμα με συντελεστές τετραδικούς αριθμούς, αφού μέσω αυτών των πο-λυωνύμων εκφράζουμε το οδογράφημα των PH καμπυλών και παρουσιάζουμεσχετικά αποτελέσματα που μας βοηθούν στην μελέτη των RRMF καμπυλών.Ακόμα παρουσιάζουμε έναν αλγόριθμο που υπολογίζει τις ρίζες των πολυωνύ-μων 2ου βαθμού με συντελεστές τετραδικούς αριθμούς και ο οποίος χρησιμο-ποιείται στην μελέτη των RRMF καμπυλών 5ου βαθμού. Τέλος, αποδεικνύουμεότι οι PH καμπύλες με μη πρωτογενή οδογραφήματα είναι αυτές στις οποίες τοαντίστοιχο πολυώνυμο με συντελεστές τετραδικούς αριθμούς μέσω του οποί-ου εκφράζεται, έχει μιγαδική ρίζα και παρατηρούμε ότι αυτές οι καμπύλες είναιομαλές καμπύλες. Επιπλέον, δίνουμε μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για ένατέτοιο πολυώνυμο να έχει μία τουλάχιστον μιγαδική ρίζα. Επιπλέον, δια μέσουαυτής της μελέτης προσδιορίζουμε και χαρακτηρίζουμε κάποιες συγκεκριμένεςκατηγορίες καμπυλών που “παράγονται” από άλλες μικρότερου βαθμού.