ΕΝΕΛΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΕΡΜΗΤΙΑΝΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΕ ΚΛΑΣΣΙΚΑ ΣΤΑΥΡΩΤΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ

Abstract

ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ, ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΥΤΗΣ ΔΙΝΟΝΤΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΑΠΛΕΣ ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΕΣ, ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ, ΤΙΣ ΕΝΕΛΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΡΜΗΤΙΑΝΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΤΟ 2Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ, ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥΜΕ ΑΡΧΙΚΑ ΤΟΥΣ Κ - ΑΥΤΟΜΟΡΦΙΣΜΟΥΣ ΣΤΟ ΣΤΑΥΡΩΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ Α=(L/Κ,A). ΔΙΝΟΥΜΕ ΜΙΑ ΑΝΑΓΚΑΙΑ ΚΑΙ ΙΚΑΝΗ ΣΥΝΘΗΚΗ, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΕΚΤΑΣΗ L/Κ, ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΧΕΤΑΙ Η Α ΕΝΕΛΙΞΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ, ΟΠΟΥ Κ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΩΜΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥΜΕ ΤΙΣ ΕΝΕΛΙΞΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙΔΟΥΣ ΣΤΗΝ Α ΚΑΙ ΚΑΘΟΡΙΖΕΤΑΙ Ο ΤΥΠΟΣ ΤΟΥΣ. ΕΠΙΣΗΣ, ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥΜΕ ΤΙΣ Κ/Κ - ΕΝΕΛΙΞΕΙΣ ΙΣΤΗΝ Α, ΟΤΑΝ Ι(L)=L. ΣΤΟ 3Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΝΕΛΙΞΗΣ Ι ΣΤΟ ΣΤΑΥΡΩΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ Α ΤΕΤΟΙΑ ΩΣΤΕ Ι(Λ)= Λ, Λ Η ΤΑΞΗ ΣΤΑΥΡΩΤΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΣΤΟ Α. ΕΠΙΣΗΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ Η ΥΠΑΡΞΗ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΣΤΟ Α, ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΗΝ Λ, ΜΕΣΩ ΜΙΑΣ ΕΝΕΛΙΞΗΣ ΣΤΟ Α, ΟΤΑΝ E/M ΕΙΝΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΣ. ΣΤΟ 4Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ, ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΙ ΟΙ ΕΡΜΗΤΙΑΝΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΑ Λ - LATTICES, ΣΤΗ ΤΟΠΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ. ΔΙΑΤΥΠΩΝΟΥΜΕ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ KRULL - SCHMIDT - AZUMAYA ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Δ ^Σ Χ (ΛMΟ) ΤΩΝ ΜΟΝΑΔΙΑΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ (Σ, Χ) - ΧΩΡΩΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΤΗΝ Λ. ΟΤΑΝ Ο E/2 ΕΙΝΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΣ, ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΝΑ (ΜΕ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΙΣΟΜΕΤΡΙΩΝ) ΑΝΑΓΩΓΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟΣ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΣ (Σ, Χ) - ΧΩΡΟΣ (ΠΕΡΙΚΟΠΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗΣ)

IN THE FIRST CHAPTER OF THIS THESIS BASIC NOTIONS AND THEOREMS ABOUT CENTRAL SIMPLE ALGEBRAS, INVOLUTIONS AND HERMITIAN FORMS ARE GIVEN. IN THE SECOND CHAPTER, WE DESCRIBE FIRSTLY THE K - AUTOMORPHISMS ON THE CROSSED - PRODUCT A=(L/K, A). A NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITION, RELATIVE TO THE EXTENSION L/K, IS GIVEN IN ORDER THE CROSSED PRODUCT A=(L/K, A) TO ADMIT AN INVOLUTION OF THE FIRST KIND, WHERE K IS AN ALGEBRAIC NUMBER FIELD. WE DESCRIBE ANY INVOLUTION OFTHE FIRST KIND ON A AND ITS TYPE IS DETERMINED. ALSO, WE DESCRIBE K/K - INVOLUTIONS I ON (L/K, A), WHEN I(L) =L. IN THE THIRD CHAPTER, IT IS PROVED THAT THERE EXISTS AN INVOLUTION I ON A SUCH THAT THE CROSSED - PRODUCT ORDER Λ=(S/R,A) IS INVARIANT UNDER I. FURTHER, THERE EXISTS A MAXIMAL R - ORDER IN A CONTAINING Λ WHICH IS INVARIANT UNDER AN INVOLUTION ON A, IN CASE E/M IS ODD. IN THE FOURTH CHAPTER, WE STUDY HERMITIAN FORMS ON Λ - LATTICES, IN THE LOCAL CASE. IT IS PROVED THAT THE KRULL - SCHMIDT - AZUMAYA THEOREM IS ALSO VALID FORTHE CATEGORY (ABSTRACT TRUNCATED)