ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΘΟΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΡΗΤΩΝ ΧΩΡΩΝ

Abstract

ΟΛΟΙ ΟΙ ΘΕΩΡΟΥΜΕΝΟΙ ΧΩΡΟΙ ΥΠΟΤΙΘΕΝΤΑΙ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΙΜΟΙ. ΧΩΡΟΣ Χ ΚΑΛΕΙΤΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΟΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΧΩΡΩΝ - Ο, ΑΝ Ο Χ ΑΝΗΚΕΙ ΣΤΗΝ Ο ΚΑΙ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΑ ΚΑΘΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ. ΕΝΑΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΛΕΙΤΑΙ ΡΗΤΟΣ ΑΝ ΕΧΕΙ ΜΙΑ ΒΑΣΗ ΤΑ ΣΥΝΟΡΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΗΣ ΟΠΟΙΑΣ ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΘΜΗΣΙΜΑ. ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ Ι) ΓΙΑ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟ ΔΙΑΤΑΚΤΙΚΟ Α ΚΑΙ ΚΑΠΟΙΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟΥ Κ, ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ S (A, K) ΤΩΝ (ΚΑΛΟΥΜΕΝΩΝ) ΙΣΧΥΡΑ (Α, Κ) - ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΑ ΔΙΑΣΚΟΡΠΙΣΜΕΝΩΝ ΧΩΡΩΝ ΚΑΙ ΙΙ) ΔΙΔΕΤΑΙ ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΚΑΙ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΝΟΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ (ΡΗΤΟΥ) ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ, Ο ΟΠΟΙΟΣ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑΣ ΚΑΘΟΛΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ R* ΤΩΝ ΥΠΟΧΩΡΩΝ Χ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ, ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΟΠΟΙΟΥΣ ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ ΒΑΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ, ΑΠΟΤΕΛΟΥΜΕΝΗ ΑΠΟ ΔΙΣΚΟΥΣ, ΤΑ ΣΥΝΟΡΑ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΕΧΟΥΝ ΤΟΜΗ ΜΕ ΤΟΝ ΧΩΡΟ Χ ΑΡΙΘΜΗΣΙΜΗ.

ALL SPACES CONSIDERED ARE ASSUMED TO BE SEPARABLE AND METRISABLE. A SPACE X IS SAID TO BE UNIVERSAL FOR A FAMILY OF SPACES O, IF BELONGS TO O AND TOPOLOGICALLY CONTAINS EVERY ELEMENT OF O. A SPACE IS SAID TO BE RATIONAL IF IT HAS A BASIS OF OPEN SETS WITH COUNTABLE BOUNDARIES.IT IS PROVED THAT I) FOR AN ISOLATED ORDINAL A AND SOME VALUES OF THE NON - NEGATIVE INTEGER K, THERE IS NO UNIVERSAL ELEMENT FOR THE FAMILY S (A, K) OF THE (SO CALLED) STRONGLY (A, K) - RIM - SCATTERED SPACES AND II) IT IS GIVEN A SIMPLE AND VISUALISED EXAMPLE OF A PLANAR (RATIONAL) CONNECTED AND LOCALLY CONNECTED SPACE WHICH IS A UNIVERSAL SPACE FOR THE FAMILY R* OF THE SUBSPACES X OF THE PLANE, FOR WHICH THERE EXISTS A BASIS OF THE PLANE, CONSTITUTED BY DISCS, THE BOUNDARIES OF WHICH HAVE WITH THE SPACE X A COUNTABLE INTERSECTION.