ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΕΠΙΛΥΣΕΩΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΥΠΟΥ RUNGE-KUTTA

Abstract

THE SUBJECT OF THE PRESENT DISSERTATION IS THE ALGEBRAIC ANALYSIS OF THE NUMERICAL METHODS FOR SOLVING SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, KNOWN ASRUNGE-KUTTA (RK). IN PARTICULAR, A NEW, EFFICIENT WAY FOR STUDYING THE ORDER CONDITIONS (OC) THEORY OF THESE METHODS IS PRESENTED FOR THE FIRST TIME. AN INGENIOUS METHODOLOGY FOR STUDYING THESE OC IS ALSO INTRODUCED AND THE RESULTING EFFICIENT, EASILY IMPLEMENTABLE, MATHEMATICALLY JUSTIFIED, ALGORITHMS ARE ALSOPRESENTED. INITIALLY, WE INTRODUCE AND DESCRIBE THE PROBLEM UNDER CONSIDERATION. MANY ORIGINAL NOTES, REMARKS, AND REFERENCES (SOME OF THEM OFTEN BEING IGNORED IN THE ESTABLISHED LITERATURE) ARE PRESENTED, CONCERNING THE TANGENTIAL RESEARCH AREA DURING ITS DEVELOPMENT THE LAST 100 YEARS. IN THE SEQUEL, WE INTRODUCE AN ALGEBRAIC THEORY SUFFICIENT TO PREDICT IN A NEW, SYSTEMATIC WAY. OC FOR THE RK METHODS. CONSEQUENTLY, A THOROUGH UNDERSTUDYING OF THE UNDERLYING THEORY MAY BE ACHIEVED WITHOUT ANY NEED TO RESORT TO GRAPHICAL REPRESENTATIONS OF TREES. THE NEW THEORY ALLOWS THE FAST AUTOMATIC ESTIMATION OF THESE OC, SOMETHING THAT TURNS TO BE IMPOSSIBLE USING ONLY THE CURRENTLY KNOWN RESPECTIVE APPROACHES. THE MAIN PART, FROM THE ASPECT OF SPACE, OF THIS DISSERTATION IS DEVOTED TO THE ALGEBRAIC STUDY FOR THE DETERMINATION OF THE SOLUTION OF THREE CLASSES OF ARBITRARILY HIGH ORDER RK METHODS. (ABSTRACT TRUNCATED)

ΤΟ ΘΕΜΑ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΑΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΕΠΙΛΥΣΕΩΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΥΠΟΥ RUNGE-KUTTA (RK). ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ ΜΙΑ ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (ΚΕ) ΓΙΑ ΤΙΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΥΤΕΣ, ΕΠΕΞΗΓΕΙΤΑΙ ΚΑΤΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ, ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ ΤΡΟΠΟ, Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΕΩΣ ΤΟΥΣ, ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΟΝΤΑΙ ΟΙ ΣΥΝΑΚΟΛΟΥΘΟΙ, ΕΥΧΕΡΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥΣ, ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ, ΠΡΟΚΥΠΤΟΝΤΕΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. ΑΡΧΙΚΑ, ΓΙΝΕΤΑΙ Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΠΛΗΘΟΣ ΠΡΩΤΟΤΥΠΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΚΑΤΑ ΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ 100 ΠΕΡΙΠΟΥ ΧΡΟΝΙΑ. ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ, ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ ΠΡΩΤΟΤΥΠΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΑΝΗ ΝΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙ ΤΙΣ ΚΕ ΓΙΑ ΤΙΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ RK ΚΑΤΑ ΝΕΟ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΙΝΑΙ Η ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΑΥΤΩΝ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΔΕΝΔΡΩΝ. ΕΠΙΠΛΕΟΝ, ΜΕ ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΑΥΤΟ ΕΠΙΤΥΓΧΑΝΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ Ο ΤΑΧΥΤΑΤΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΕ, ΚΑΤΙ ΑΔΥΝΑΤΟΝ ΜΕ ΤΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΩΡΑ ΥΠΑΡΧΟΥΣΕΣΘΕΩΡΙΕΣ. ΤΟ ΚΥΡΙΟ, ΑΠΟ ΠΛΕΥΡΑΣ ΕΚΤΑΣΕΩΣ, ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΑΣΧΟΛΕΙΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΕΩΣ ΤΡΙΩΝ ΚΛΑΣΕΩΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ RK ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΤΑΞΗΣ. Η ΜΕΛΕΤΗ ΕΙΝΑΙ ΕΝΔΕΛΕΧΗΣ, ΑΡΧΙΖΕΙ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΚΑΘΕ ΚΛΑΣΕΩΣ, ΠΡΟΧΩΡΑ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΘΕ ΜΙΑΣ, Η ΟΠΟΙΑ ΟΔΗΓΕΙ, ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΤΑΛΛΗΛΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΑΠΛΟΠΟΙΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΔΟΧΩΝ, ΣΤΟΝ ΠΛΗΡΗ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΝΤΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. (ΠΕΡΙΚΟΠΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗΣ)