Αριθμητικές μέθοδοι σε σύγχρονες υπολογιστικές αρχιτεκτονικές για προβλήματα πολλαπλών χωρίων

Abstract

Multidomain problems arise in many scientific fields and require advanced mathematical models and computational methods to interpret physical phenomena. In geophysics, a fundamental problem is the exploration of the subsurface using electromagnetic fields. Electromagnetic sounding methods aim to analyze the subsurface and identify geologic formations of high interest. The field process involves emitting a primary electromagnetic field at a fixed frequency into the environment using an appropriate transmitter-receiver device. This field interacts with subsurface materials of varying physical properties, such as specific electrical conductivity, and records the response of the secondary field. Field measurements and analysis of the secondary field contribute to iteratively adjusting and improving a (initially hypothetical) earth model in another crucial phase of the process, solving the forward problem. The mathematical approach to the forward problem is based on Maxwell’s equations, which describe the relationship between electric and magnetic fields. Their combination, aimed at decoupling the fields, leads to a Helmholtz-type differential equation for the intensity of the electric field. Solving this equation to estimate the intensity of the electric field in three-dimensional models with inhomogeneous materials is computationally demanding due to the complexity of the problem and must also be precise. This study presents a new solver for this equation, employing a compact fourth-order accuracy finite-difference scheme on a staggered grid to approximate the components of the electric field intensity in the frequency domain for a computational model of a three-dimensional half-space. For the solution of the resulting from the discretization linear system, methods such as the BiCGSTAB iterative method and Cyclic Reduction are being used. The solver is designed to be implemented on multicore computational systems and parallel architectures using the OpenMP standard, with low memory requirements, and is extensible to grid-based architectures to generate approximations for multiple transmitter positions. The results include extensive tests using varying transmitter heights and different subsurface electrical conductivity values in the half-space model.

Τα προβλήματα πολλαπλών χωρίων συναντώνται σε πολλά επιστημονικά πεδία και απαιτούν εξελιγμένα μαθηματικά μοντέλα και υπολογιστικές μεθόδους για να ερμηνεύσουν φυσικά φαινόμενα. Στη γεωφυσική, ένα βασικό πρόβλημα είναι η εξερεύνηση του υπεδάφους με εφαρμογή ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Με τη χρήση ηλεκτρομαγνητικών μεθόδων διασκόπησης επιχειρείται η ανάλυση του υπεδάφους και ο εντοπισμός γεωλογικών σχηματισμών υψηλού ενδιαφέροντος. Η διαδικασία επί του πεδίου, περιλαμβάνει την εκπομπή πρωτεύοντος ηλεκτρομαγνητικού πεδίου υπό σταθερή συχνότητα στο χώρο από κατάλληλη συσκευή πομπού-δέκτη, το οποίο αλληλεπιδρά με υλικά του υπεδάφους με διαφορετικές φυσικές ιδιότητες, όπως η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα, και την καταγραφή της απόκρισης, του δευτερεύοντος πεδίου. Οι μετρήσεις στο πεδίο και η ανάλυση του δευτερεύοντος πεδίου συνεισφέρουν στην διαδοχική προσαρμογή και βελτίωση ενός (αρχικά υποθετικού) μοντέλου γης σε άλλο θεμελιώδες κομμάτι της διαδικασίας, στην επίλυση του ευθέος προβλήματος. Η μαθηματική προσέγγιση στο ευθύ πρόβλημα βασίζεται στις εξισώσεις του Maxwell, που περιγράφουν τη σχέση του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου, ο συνδυασμός των οποίων, με σκοπό την αποσύνδεση των πεδίων, οδηγεί σε μια διαφορική εξίσωση, τύπου Helmholtz, αυτής της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Η επίλυση αυτής της εξίσωσης με στόχο την προσέγγιση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε μοντέλα τριών διαστάσεων με ανομοιογενή υλικά είναι αφενός υπολογιστικά απαιτητική λόγω της πολυπλοκότητας του προβλήματος, αφετέρου επιβάλλεται να είναι ακριβής. Η μελέτη παρουσιάζει έναν νέο επιλυτή για αυτή την εξίσωση που χρησιμοποιεί ένα συμπαγές -τέταρτης τάξης ακρίβειας- αριθμητικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών σε κλιμακωτό πλέγμα, προσεγγίζοντας τις συνιστώσες της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο πεδίο των συχνοτήτων σε υπολογιστικό μοντέλο ημιχώρου τριών διαστάσεων. Για την επίλυση του παραγόμενου από τη διακριτοποίηση κύριου γραμμικού συστήματος χρησιμοποιούνται συνδυαστικά μέθοδοι όπως η ευσταθειοποιημένη μέθοδος δισυζυγών κλίσεων, η μέθοδος αναγωγής μονών-ζυγών κ.α. Ο επιλυτής είναι σχεδιασμένος ώστε να υλοποιείται σε πολυπύρηνα υπολογιστικά συστήματα και παράλληλες αρχιτεκτονικές με χρήση του προτύπου OpenMP με περιορισμένες απαιτήσεις σε μνήμη ενώ η επέκταση του υλοποιείται σε αρχιτεκτονικές πλέγματος για την παραγωγή προσεγγίσεων με πολλαπλές θέσεις πομπού. Στα αποτελέσματα παρουσιάζεται πλήθος δοκιμών όπου χρησιμοποιήθηκαν διαφορετικά ύψη πομπού και διαφορετικές τιμές ηλεκτρικής αγωγιμότητας υπεδάφους του ημιχώρου.