Μελέτη της αλγεβρικής γενίκευσης μέσω της χρήσης χειραπτικών και ψηφιακών εργαλείων

Abstract

This thesis focuses on the study of the meaning-making of algebraic generalization through patterns by high school students, aged 12-13 years, while modeling exploratory realistic situations, through the use of manipulatives and digital tools. It also studies the models that influence the students' meanings and the connections between them and on the one hand the role of the learning context through the study of the teacher's interventions and the role of the tools. The present research is based on the use of manipulatives with a mathematical background, such as Cuisenaire rods, and the digital microworld eXpresser, which allows the construction of patterns with squares and using virtual variables. In this thesis, a qualitative research methodology was followed, and data was collected from two design phases and over two years in two schools. In particular, it was observed how groups of high school students from four school classes make sense of algebraic pattern generalization through their engagement with modeling activities inspired by realistic situations and specially designed digital tools. The interventions, which led to the main body of data, were fully videotaped, audio-recorded and transcribed. For the analysis of the data, referring to the discussions of the groups of students with each other or with the teacher during 27 teaching hours, the grounded theory of analysis (Glaser 1998, Charmaz, 2006) and the theoretical framework Abstraction in Context were used. – (Abstraction in Context – AiC) (Dreyfus et al., 2015) in combination with Teacher moves (Ellis et al., 2019). The theoretical frameworks were used together in order to highlight the meaning-making process for algebraic pattern generalization, but also to analyze the model elements involved in making sense of the generalization while exploring modeling activities. Modeling is considered the work on various models of reality which belong to different scientific fields including various mathematizations. The present research was based on the definition of different models, which are involved during algebraic generalization through patterns. Consequently, the connections between the different models were analyzed when modeling activities with the aim of more comprehensively recording the path of meaning-making. Also, through the teacher's interventions and the role of the tools, the role of the application model in the students' understandings was analyzed. Using Abstraction in Context in the analysis of the data, the results show the path of meaning-making towards algebraic generalization through patterns and highlight the role of models, but also of the connections between them in the development of students' meaning-making. At the same time, the role of the model during the implementation of the activities is illuminated through the interventions of the teacher and the use of the available tools. The analysis then leads to the classification of the intended elements of knowledge and the connections between them in relation to the main actions of the students. It also concerns how students through their group work or whole class discussions achieve and build algebraic generalization with or without the use of symbols. The next level of analysis focuses on how the teacher negotiates students' understandings of algebraic pattern generalization and how he utilizes available tools. Overall, the results show that the teacher shapes his teaching practice around generalization and emphasizes the development of the variable concept. The research adds to our understanding of the meaning-making of algebraic generalization through patterns as well as the characteristics of instruction that support it through the use of manipulatives or digital tools. It is distinguished by originality a) in the detailed description of the meaning-making process for algebraic generalization through patterns as well as the connections between the intended elements of knowledge, the available tools and the characteristics of teaching that support algebraic generalization, b) in the methodological tools used for the analysis of the interaction of students and teacher in the school classroom and c) in the study of the utilization of manipulatives and especially designed digital tools in the teaching of algebraic generalization of patterns through realistic situations. The conclusions of the thesis include informing existing research on the process of meaning-making of algebraic generalization through patterns when modeling exploratory realistic situations. In addition, they highlight the crucial role of models and the connections between them, the decisive role of tools for algebraic generalization and the theoretical frameworks used in its study. This thesis contributes to the aforementioned fields, but also to educators, activity designers, and researchers concerned with algebraic generalization through patterns. More specifically, it helps to be aware of (a) the critical role of models in student activity especially when digital tools are involved, (b) the analytical process of meaning-making of algebraic generalization through patterns, (c) the requirements of designing activities that incorporate authentic situations and modeling and (d) the role of the teacher and the tools in implementing the activities.

Η παρούσα διατριβή εστιάζει στη μελέτη της νοηματοδότησης της αλγεβρικής γενίκευσης μέσω μοτίβων από μαθητές α γυμνασίου, ηλικίας 12-13 χρονών, κατά τη μοντελοποίηση διερευνητικών ρεαλιστικών καταστάσεων, μέσα από τη χρήση χειραπτικών και ψηφιακών εργαλείων. Επίσης, μελετά τα μοντέλα που επηρεάζουν τις νοηματοδοτήσεις των μαθητών και τις συνδέσεις μεταξύ τους και αφετέρου τον ρόλο του μαθησιακού πλαισίου μέσα από τη μελέτη των παρεμβάσεων του εκπαιδευτικού και τον ρόλο των εργαλείων.Η παρούσα έρευνα βασίζεται στην χρήση χειραπτικών υλικών με μαθηματικό περιεχόμενο, όπως είναι οι ράβδοι Cuisenaire, και του ψηφιακού περιβάλλοντος eXpresser, το οποίο επιτρέπει την κατασκευή μοτίβων με τετράγωνα και με χρήση εικονικών μεταβλητών. Στην παρούσα διατριβή ακολουθήθηκε ποιοτική μεθοδολογία έρευνας και συλλέχθηκαν δεδομένα από δύο φάσεις σχεδιασμού και εφαρμογής κατά τη διάρκεια δύο ετών σε δύο σχολεία. Συγκεκριμένα, παρατηρήθηκε ο τρόπος που ομάδες μαθητών γυμνασίου από τέσσερεις σχολικές τάξεις νοηματοδοτούν την αλγεβρική γενίκευση μοτίβων μέσα από την εμπλοκή τους με δραστηριότητες μοντελοποίησης εμπνευσμένες από ρεαλιστικές καταστάσεις και ειδικά σχεδιασμένα ψηφιακά εργαλεία. Οι παρεμβάσεις, που αποτέλεσαν το κύριο σώμα των δεδομένων, βιντεοσκοπήθηκαν, ηχογραφήθηκαν και απομαγνητοφωνήθηκαν πλήρως. Για την ανάλυση των δεδομένων, που αφορούν στις συζητήσεις των ομάδων των μαθητών μεταξύ τους ή με τον εκπαιδευτικό κατά τη διάρκεια 27 διδακτικών ωρών, χρησιμοποιήθηκε η θεμελιωμένη θεωρία ανάλυσης (grounded theory, Glaser 1998, Charmaz, 2006) και το θεωρητικό πλαίσιο Αφαίρεση εντός Πλαισίου – (Abstraction in Context – ΑεΠ) (Dreyfus et al., 2015) σε συνδυασμό με τις παρεμβάσεις του εκπαιδευτικού (Teacher moves) (Ellis et al., 2019). Τα θεωρητικά πλαίσια χρησιμοποιήθηκαν από κοινού προκειμένου να αναδειχθεί η πορεία κατασκευής νοημάτων για την αλγεβρική γενίκευση μοτίβων, αλλά και να αναλυθούν τα στοιχεία του μοντέλου που συμμετέχουν στη νοηματοδότηση της γενίκευσης κατά τη διερεύνηση δραστηριοτήτων μοντελοποίησης. Ως μοντελοποίηση θεωρείται η εργασία σε διάφορα μοντέλα της πραγματικότητας τα οποία ανήκουν σε διαφορετικά επιστημονικά πεδία περιλαμβάνοντας διάφορες μαθηματικοποιήσεις. Η παρούσα έρευνα βασίστηκε στον ορισμό διαφορετικών μοντέλων, τα οποία εμπλέκονται κατά την αλγεβρική γενίκευση μέσω μοτίβων. Συνεπώς, αναλύθηκαν οι συνδέσεις μεταξύ των διαφορετικών μοντέλων κατά τη μοντελοποίηση δραστηριοτήτων με στόχο την πιο ολοκληρωμένη καταγραφή της νοηματοδότησης. Επίσης, μέσα από τις παρεμβάσεις του εκπαιδευτικού και από τον ρόλο των εργαλείων αναλύθηκε ο ρόλος του μοντέλου εφαρμογής στις νοηματοδοτήσεις των μαθητών. Χρησιμοποιώντας την Αφαίρεση εντός Πλαισίου στην ανάλυση των δεδομένων, τα αποτελέσματα δείχνουν την πορεία νοηματοδότησης προς την αλγεβρική γενίκευση μέσα από μοτίβα και αναδεικνύουν τον ρόλο των μοντέλων, αλλά και των μεταξύ τους συνδέσεων στην εξέλιξη των νοηματοδοτήσεων των μαθητών. Παράλληλα, φωτίζεται ο ρόλος του μοντέλου κατά την εφαρμογή των δραστηριοτήτων μέσα από τις παρεμβάσεις του εκπαιδευτικού και τη χρήση των διαθέσιμων εργαλείων. Στη συνέχεια η ανάλυση οδηγεί στην ταξινόμηση των επιδιωκόμενων στοιχείων γνώσης και των μεταξύ τους συνδέσεων σε σχέση με τις κύριες δράσεις των μαθητών. Επίσης αφορά στο πώς οι μαθητές μέσα από την εργασία τους στις ομάδες ή στις συζητήσεις ολόκληρης της τάξης επιτυγχάνουν και χτίζουν την αλγεβρική γενίκευση με ή χωρίς τη χρήση συμβόλων. Το επόμενο επίπεδο ανάλυσης εμβαθύνει στον τρόπο που ο εκπαιδευτικός διαπραγματεύεται τις νοηματοδοτήσεις των μαθητών για την αλγεβρική γενίκευση μοτίβων και πώς αξιοποιεί τα διαθέσιμα εργαλεία. Στο σύνολό τους τα αποτελέσματα δείχνουν ότι ο εκπαιδευτικός διαμορφώνει τη διδακτική πρακτική του σχετικά με τη γενίκευση και δίνει έμφαση στην ανάπτυξη της έννοιας της μεταβλητής. Η έρευνα προσθέτει στην κατανόηση μας για την νοηματοδότηση της αλγεβρικής γενίκευσης μέσω μοτίβων καθώς και τα χαρακτηριστικά της διδασκαλίας που την υποστηρίζουν μέσω της χρήσης ψηφιακών ή χειραπτικών εργαλείων. Διακρίνεται από πρωτοτυπία α) στην αναλυτική περιγραφή της πορείας της νοηματοδότησης για την αλγεβρική γενίκευση μέσω μοτίβων καθώς και των συνδέσεων ανάμεσα στα επιδιωκόμενα στοιχεία γνώσης, στα διαθέσιμα εργαλεία και στα χαρακτηριστικά της διδασκαλίας που υποστηρίζουν την αλγεβρική γενίκευση, β) στα μεθοδολογικά εργαλεία που αξιοποιούνται για την ανάλυση της αλληλεπίδρασης μαθητών και εκπαιδευτικού στη σχολική τάξη και γ) στη μελέτη της αξιοποίησης των χειραπτικών και ιδιαίτερα των ψηφιακών εργαλείων στη διδασκαλία της αλγεβρικής γενίκευσης μοτίβων μέσω ρεαλιστικών καταστάσεων.Τα συμπεράσματα της διατριβής περιλαμβάνουν την ενημέρωση της υπάρχουσας έρευνας σχετικά με τη διαδικασία νοηματοδότησης της αλγεβρικής γενίκευσης μέσω μοτίβων κατά τη μοντελοποίηση διερευνητικών ρεαλιστικών καταστάσεων. Επιπλέον αναδεικνύουν τον κρίσιμο ρόλο των μοντέλων και των μεταξύ τους συνδέσεων, τον καθοριστικό ρόλο των εργαλείων για την αλγεβρική γενίκευση και των θεωρητικών πλαισίων που αξιοποιούνται στη μελέτη της. Η παρούσα διατριβή συνεισφέρει στα προαναφερθέντα πεδία, αλλά και σε εκπαιδευτικούς, σχεδιαστές δραστηριοτήτων και ερευνητές που ασχολούνται με την αλγεβρική γενίκευση μέσω μοτίβων. Πιο συγκεκριμένα, βοηθά στο να είναι ενήμεροι για (α) τον κρίσιμο ρόλο των μοντέλων στη δραστηριότητα των μαθητών ιδιαίτερα όταν εμπλέκονται ψηφιακά εργαλεία, (β) την αναλυτική πορεία νοηματοδότησης της αλγεβρικής γενίκευσης μέσω μοτίβων, (γ) τις απαιτήσεις του σχεδιασμού δραστηριοτήτων που ενσωματώνουν αυθεντικές καταστάσεις και μοντελοποίηση και (δ) τον ρόλο του εκπαιδευτικού και των εργαλείων στην εφαρμογή των δραστηριοτήτων.