Μελέτη υπερεπιφανειών του χώρου En+1 και ευθειογενών επιφανειών του χώρου E3 στο πλαίσιο της σχετικής διαφορικής γεωμετρίας

Abstract

In this thesis we study relatively normalized hypersurfaces in the (n+1)-dimensional Euclidean space and ruled surfaces in the 3-dimensional Euclidean space which are asymptotically normalized or generalized asymptotically normalized. Firstly we mention the classical notions and notations of the relative Differential Geometry. We introduced the support vector field of the relative normalization and the Tchebychev function of a relatively normalized hypersurface Φ. We prove that if the Pick-invariant of Φ with positive Gaussian curvature vanishes identically, then Φ is hyperquadric and the normalization is constantly proportional to the affine one. We define and study the first relative Laplace-normalization and the first preceding relative Laplace-normalization of Φ with respect to a given relative normalization of it. Then we define the n-th relative Laplace-normalization of Φ. In this way arises the sequence of the relative Laplace-normalization. We prove that this sequence converges to the equiaffine normalization. Finally we define the n-th preceding relative Laplace-normalization and we study the arising sequence. In the second part we study ruled surfaces in the 3-dimensional space which are asymptotically normalized, i.e., their relative normalizations lie on the corresponding asymptotic planes of a given ruled surface Φ. We find firstly all ruled surfaces and all relative normalizations for which the asymptotic image degenerates into a point or into a curve, or Φ is proper or improper sphere. We then study various properties of asymptotically normalized ruled surfaces. In the last part we define the so called generalized asymptotic normalizations, which include the Manhart-normalizations, the Euclidean, the equiaffine and the relative II-normalization. We conclude with the investigation of several properties of the ruled surfaces and of the corresponding generalized asymptotic normalizations.

Στην παρούσα Διατριβή μελετώνται υπερεπιφάνειες του (n+1)-διάστατου Ευκλείδειου χώρου σχετικά καθετοποιημένες και ευθειογενείς επιφάνειες του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου εφοδιασμένες με ασυμπτωτικές και γενικευμένες ασυμπτωτικές καθετοποιήσεις. Παραθέτουμε αρχικά τις θεμελιώδεις έννοιες και τους συμβολισμούς της σχετικής Διαφορικής Γεωμετρίας. Στο πρώτο μέρος εισάγουμε τις έννοιες του διανυσματικού πεδίου στήριξης, της σχετικής καθετοποίησης και της συνάρτησης του Tchebychev μιας σχετικά καθετοποιημένης υπερεπιφάνειας Φ. Αποδεικνύουμε, ότι αν η Φ είναι ελλειπτικά καμπυλωμένη και η αναλλοίωτος του Pick μηδενίζεται ταυτοτικά, τότε η Φ είναι δεύτερης τάξης και η καθετοποίηση είναι ομοιόθετη της αφινικής. Ορίζουμε και μελετούμε την πρώτη σχετική καθετοποίηση του Laplace και την πρώτη προηγούμενη σχετική καθετοποίηση του Laplace της Φ ως προς μια σχετική καθετοποίηση αυτής. Ακολούθως ορίζουμε τη ν-οστή σχετική καθετοποίηση του Laplace της Φ. Προκύπτει έτσι μια ακολουθία σχετικών καθετοποιήσεων του Laplace και αποδεικνύουμε ότι το όριό της είναι η αφινική καθετοποίηση. Ορίζουμε τη ν-οστή προηγούμενη σχετική καθετοποίηση του Laplace και κάνουμε ανάλογη μελέτη για την ακολουθία που προκύπτει. Στο δεύτερο μέρος μελετούμε ευθειογενείς επιφάνειες του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου ασυμπτωτικά καθετοποιημένες. Αυτό σημαίνει, ότι οι σχετικές καθετοποιήσεις κείνται πάνω στα αντίστοιχα ασυμπτωτικά επίπεδα. Μελετούμε, πότε η ασυμπτωτική εικόνα μιας ευθειογενούς επιφάνειας εκφυλίζεται σε καμπύλη ή σημείο και πότε η επιφάνεια είναι γνήσια ή μη γνήσια σχετική σφαίρα. Γίνεται μελέτη των ιδιοτήτων των ασυμπτωτικά καθετοποιημένων ευθειογενών επιφανειών. Γενικεύουμε και μελετούμε τις ασυμπτωτικές καθετοποιήσεις σε μια ευθειογενή επιφάνεια και τις ονομάζουμε γενικευμένες ασυμπτωτικές. Οι καθετοποιήσεις αυτές γενικεύουν τις καθετοποιήσεις Manhart, την Ευκλείδεια, την αφινική και την σχετική II-καθετοποίηση.