A study of time series with time-varying variance: a practical approach with applications in actuarial science and finance

Abstract

A stochastic time series is a type of time series where the future values can only be determined in terms of a probability distribution. If this probability distribution is constant over time, then the time series is said to be stationary. A less strict condition for stationarity requires that at least the level and variance of the time series be constant over time. Researchers employ various tests to check for non-stationarity in the level of a time series, but more often than not they neglect to investigate non-stationarity in its variance when conducting applied research. In fact, regarding time series variance, the primary research emphasis is on modeling autoregressive conditional heteroscedasticity, typically using a variety of ARCH-GARCH models. It is essential to differentiate between two key concepts: variance non-stationarity, often referred to as heteroscedasticity, and conditional heteroscedasticity. Heteroscedasticity implies a functional relation between the variance of a series which is non-stationary in its level and its mean level. This entails non-stationarity in the variance, and the variance is neither conditionally nor unconditionally constant. Consequently, the process is non-homogeneously non-stationary in the sense of Box and Jenkins and cannot be made stationary by simply differencing it. To address variance non-stationarity, one approach is to apply power transformations, such as the well-known Box and Cox transformations. On the other hand, conditional heteroscedasticity, often described using ARCH or GARCH models, signifies that while the conditional variance varies over time, the unconditional variance remains constant. As a result, the series is stationary in the second moment. In the present Ph.D. thesis, the focus is on the series with non-constant variance both conditionally and unconditionally, covering to a certain extent a gap in that area, as the existing research work is relatively scanty. Indeed, even though it is crucial to deal with non-constant variance in time series modeling, there is a shortage of comprehensive theoretical research on its detection and correction. Moreover, in practical applications, the treatment of non-stationary variance is not only insufficient, as the choice of a specific transformation is often arbitrary, but also, as is documented in Chapter 2, occasionally biased towards over-rejection of the null hypothesis of unconditionally constant variance. The aim of this Ph.D. thesis is to present a formal econometric approach that not only identifies non-stationary variance and suggests appropriate transformations for correction, but also is robust to the specific partitioning of a time series, which is a necessary step for conducting the test, and the possible presence of outliers. The importance of employing this approach in the fields of macroeconomics, actuarial science and finance is extensively examined and supported in Chapters 3, 4 and 5 respectively.

Μία στοχαστική χρονοσειρά είναι ένας τύπος χρονοσειράς όπου οι μελλοντικές τιμές μπορούν να καθοριστούν μόνο σε όρους μιας κατανομής πιθανότητας. Aν αυτή η κατανομή πιθανότητας είναι σταθερή με την πάροδο του χρόνου, τότε η χρονοσειρά λέγεται στάσιμη. Μια λιγότερο αυστηρή συνθήκη για τη στασιμότητα απαιτεί τουλάχιστον το επίπεδο και η διακύμανση της χρονοσειράς να είναι σταθερά με την πάροδο του χρόνου.Οι ερευνητές χρησιμοποιούν διάφορους ελέγχους για να εξετάσουν τη μη-στασιμότητα στο επίπεδο μιας χρονοσειράς, αλλά συχνά παραμελούν να εξετάσουν τη μη-στασιμότητα στη διακύμανσή της, κατά την διεξαγωγή εφαρμοσμένης έρευνας. Πράγματι, όσον αφορά τη διακύμανση της χρονοσειράς, η πρωταρχική ερευνητική έμφαση δίνεται στη μοντελοποίηση της αυτοπαλίνδρομης δεσμευμένης (υπό συνθήκη) ετεροσκεδαστικότητας, συνήθως χρησιμοποιώντας διάφορα ARCH-GARCH τύπου μοντέλα. Είναι ουσιώδες να διακρίνουμε ανάμεσα σε δύο βασικές έννοιες: την μη-στασιμότητα της διακύμανσης, που συχνά αναφέρεται και ως ετεροσκεδαστικότητα, και της δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας. Η ετεροσκεδαστικότητα συνεπάγεται μια συναρτησιακή σχέση μεταξύ της διακύμανσης μίας σειράς, που είναι μη-στάσιμη στο επίπεδό της και του μέσου επιπέδου της. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη μη-στασιμότητα στη διακύμανση, και η διακύμανση είναι μη-σταθερή τόσο υπό συνθήκη, όσο και χωρίς συνθήκη (μη-δεσμευμένη). Συνεπώς, η διαδικασία είναι μη-ομοιογενώς μη-στάσιμη στο πλαίσιο των Box και Jenkins και δεν μπορεί να γίνει στάσιμη απλώς παίρνοντας τις διαφορές. Για να αντιμετωπιστεί η μη-στασιμότητα της διακύμανσης, μια προσέγγιση είναι η εφαρμογή μετασχηματισμών, όπως είναι οι ευρέως γνωστοί μετασχηματισμοί των Box και Cox. Από την άλλη πλευρά, η δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα, που περιγράφεται συχνά χρησιμοποιώντας μοντέλα του τύπου ARCH-GARCH, υπονοεί ότι ενώ η δεσμευμένη διακύμανση μεταβάλλεται με τον χρόνο, η μη-δεσμευμένη διακύμανση παραμένει σταθερή. Ως αποτέλεσμα, η σειρά είναι στάσιμη στη δεύτερη ροπή. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, επικεντρωνόμαστε σε σειρές με μη-σταθερή διακύμανση τόσο υπό συνθήκη όσο και χωρίς συνθήκη, καλύπτοντας μέχρι ένα βαθμό ένα κενό στην ευρύτερη περιοχή, καθώς η υπάρχουσα ερευνητική βιβλιογραφία είναι σχετικά περιορισμένη. Πράγματι, αν και είναι ουσιώδες να αντιμετωπιστεί η μη-σταθερή διακύμανση στη μοντελοποίηση χρονοσειρών, υπάρχει έλλειψη συγκροτημένης θεωρητικής έρευνας σχετικά με την ανίχνευση και τη διόρθωσή της. Επιπλέον, στις πρακτικές εφαρμογές, η αντιμετώπιση της μη-στασιμότητας της διακύμανσης δεν είναι μόνο ανεπαρκής, καθώς η επιλογή ενός συγκεκριμένου μετασχηματισμού συχνά είναι αυθαίρετη, αλλά επίσης, όπως τεκμαίρεται στο Κεφάλαιο 2, περιστασιακά είναι μεροληπτική ως προς την υπερβολική απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης της μη-δεσμευμένης σταθερής διακύμανσης. Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι να παρουσιάσει μια επίσημη οικονομετρική προσέγγιση που όχι μόνο ανιχνεύει τη μη-στασιμότητα της διακύμανσης και προτείνει κατάλληλους μετασχηματισμούς για τη διόρθωσή της, αλλά επίσης είναι ανθεκτική αφενός ως προς τις διάφορες διαμερίσεις μιας χρονοσειράς, που αποτελεί απαραίτητο βήμα για τη διεξαγωγή του ελέγχου, και αφετέρου την πιθανή ύπαρξη ακραίων τιμών. Η σημαντικότητα της χρήσης αυτής της προσέγγισης στους τομείς της μακροοικονομίας, της αναλογιστικής επιστήμης και της χρηματοοικονομικής εξετάζεται λεπτομερώς και υποστηρίζεται στα Κεφάλαια 3, 4 και 5 αντίστοιχα.