The method of auxiliary sources in electromagnetic problems of scattering, mode analysis, and shielding: theory and applications

Abstract

The boundary value problems concerning the scattering and propagation of electromagnetic waves are governed by differential and integral equations. The choice of solving problems integral or differential equations is related to the characteristics of each specific electromagnetic problem. These equations can be solved analytically only for simple geometries such as circular, or elliptical. In other cases, the use of numerical methods is required.The most common choice for the numerical solution of integral equations is the Method of Moments (MoM). However, during its implementation, and in particular, when filling the impedance matrix, it is necessary to calculate singular integrals due to the integration on the boundary surface or curve. This sometimes results in an approximate solution of the EM fields in a specified domain, which might be unacceptable. For the above and other reasons, a group of methods known as Generalized Multipole Techniques (GMT’s) have been developed over many years. The basic principle of these methods is that in their application, an equivalent to the original problem is formulated in which, the required EM field is equal to the superposition of the fields radiated by a set of discrete sources which are displaced from the boundary curve or surface. Therefore, the calculation of singular integrals is not necessary when filling the impedance matrix. One of the methods of GMT’s is the Method of Auxiliary Sources (MAS) which is characterized by the use of discrete sources, called Auxiliary Sources (AS’s), emitting fields whose expressions are proportional to the corresponding free-space Green’s functions. The AS’s are placed on auxiliary curves or surfaces with a shape conformal to the physical boundary. The purpose of this PhD thesis is to present theory and applications of MAS in cases of electromagnetic scattering, mode analysis of metallic and dielectric waveguides, as well as in problems of shielding of thin materials. In general MAS is a very effective method for solving boundary value problems with the main advantages being the simplicity of implementation, low memory usage, and fast computation of the results. On the other hand, the application of MAS might be problematic in cases where we have divergence of current amplitudes, or might need modification in order to deal with the appearance of spurious solutions in mode analysis, and when field calculation is required in areas with high conductivity, such as shielding materials. The dissertation deals with the application of MAS in geometries in which problems of this nature arise.Specifically, we apply MAS to EM scattering problems from Perfect Electric Conductor (PEC) cylinders, with the main purpose of studying the effect of divergence of auxiliary current amplitudes on the numerical results for the EM fields. We find analytically for the circular geometry, and numerically for complex geometries that, under certain conditions, the EM fields are correct, even when the auxiliary current amplitudes diverge.The MAS is then applied to calculate the eigenvalues of simply and multiply connected PEC waveguides with an arbitrary cross section. To address the problem of spurious eigenvalues, a modified version of standard MAS is applied in which the waveguide is driven by an excitation source such as a point source or a plane wave. This modified method is termed as MAS with an Excitation Source (MAS-ES). The eigenvalues are calculated by detecting the wavenumbers for which the waveguide cross section resonates with the excitation source. Resonance is detected by the values of a properly defined response-function. Then we extend the MAS-ES by proving that the resonances of the waveguide are also detected by observing the peak values of the Auxiliary Current Vector Norm (ACVN). The advantages of this approach over the response-function approach are the simplicity of the algorithm, the clarity of the response curve, and the computation time. In addition, an algorithm is presented with which a very fast calculation of the impedance matrix is achieved. Additionally we show that MAS-ES applies in the case of dielectric waveguides. Since dielectric waveguides support hybrid modes, two excitation sources are required simultaneously, an electric and magnetic, in order to obtain correct eigenvalues. This results to what we call MAS with Two Excitation Sources (MAS-TES). It is numerically demonstrated that if the excitation sources are placed inside an optimum curve within the core, no spurious solutions appear in the response curve. Lastly, the evaluation of monolayer graphene (MLG) as a material suitable for EM shielding in the RF/microwave region is investigated. The high conductivity of graphene at RF frequencies in combination with other properties such as transparency in the optical spectrum, mechanical strength, elasticity, thermal conductivity, etc. make it an ideal material for EM shielding. Numerical experiments on cylindrical configurations shielded by graphene which is deposited on silicon dioxide are performed. Since standard MAS encounters difficulties when computing the fields in highly conductive regions, a modified MAS is proposed according to which graphene is replaced by an Impedance Matrix Boundary Condition (MAS with IMBC). This way, we avoid calculating the fields inside graphene. Numerical results show that graphene can provide up to 40 dB of shielding effectiveness in the RF/microwave region.

Τα προβλήματα συνοριακών τιμών που αφορούν τη σκέδαση και τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών (H/M) κυμάτων διέπονται από διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις. Η επιλογή της επίλυσης μέσω ολοκληρωτικών ή διαφορικών εξισώσεων σχετίζεται με τα χαρακτηριστικά του κάθε συγκεκριμένου ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος. Η επίλυση μπορεί να γίνει αναλυτικά μόνο για απλές γεωμετρίες όπως κυκλικές, ελλειπτικές, σφαιρικές και ελλειψοειδείς. Σε άλλες περιπτώσεις απαιτείται η χρήση αριθμητικών μεθόδων.Η συνήθης επιλογή για την αριθμητική επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων είναι η Μέθοδος των Ροπών. Κατά την εφαρμογή της όμως, και συγκεκριμένα, κατά την συμπλήρωση του πίνακα εμπέδησης, είναι απαραίτητος ο υπολογισμός ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων λόγω της ολοκλήρωσης πάνω στην συνοριακή επιφάνεια ή καμπύλη. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την εξαγωγή μιας προσεγγιστικής λύσης των πεδίων του χώρου η οποία σε ορισμένες περιπτώσεις ενδέχεται να εμφανίσει φαινόμενα αριθμητικών ασταθειώνΓια τον παραπάνω αλλά και για άλλους λόγους, έχουν αναπτυχθεί μια ομάδα από μεθόδους γνωστές ως “Γενικευμένες Πολυπολικές Τεχνικές” (ΓΠΤ). Η βασική αρχή των μεθόδων αυτών είναι ότι κατά την εφαρμογή τους ορίζεται ένα ισοδύναμο με το αρχικό πρόβλημα, στο οποίο το ζητούμενο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι ίσο με την επαλληλία των πεδίων που εκπέμπονται από ένα σύνολο διακριτών πηγών οι οποίες είναι απομακρυσμένες από την συνoριακή καμπύλη ή επιφάνεια. Ως εκ τούτου, κατά την συμπλήρωση του πίνακα εμπέδησης δεν είναι απαραίτητος ο υπολογισμός ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων.Μια από τις μεθόδους των ΓΠΤ είναι η Μέθοδος των Βοηθητικών Πηγών (ΜΒΠ) η οπόια χαρακτηρίζεται από την χρήση διακριτών πηγών, ονόματι Βοηθητικές Πηγές (ΒΠ), που εκπέμπουν πεδία οι εκφράσεις των οποίων είναι ανάλογες των συναρτήσεων Green του ελευθέρου χώρου. Οι ΒΠ τοποθετούνται πάνω σε βοηθητικές καμπύλες ή επιφάνειες το σχήμα των οποίων είναι όμοιο με το σχήμα του συνόρου. Σκοπός αυτής της διδακτορικής διατριβής είναι η παρουσίαση θεωρίας και εφαρμογών της ΜΒΠ σε προβλήματα ηλεκτρομαγνητικής σκέδασης, ανάλυσης ρυθμών κυματοδήγησης μεταλλικών και διηλεκτρικών κυματοδηγών, καθώς και σε προβλήματα θωράκισης με λεπτά υλικά. Γενικά η ΜΒΠ αποτελεί μια ιδιαιτέρως αποτελεσματική μέθοδο για την επίλυση συνοριακών προβλημάτων με κύρια πλεονεκτήματα την απλότητα στην υλοποίηση και την ταχύτατη εξαγωγή αποτελεσμάτων. Από την άλλη όμως, η εφαρμογή της ΜΒΠ χρειάζεται προσοχή ιδιαίτερα σε περιπτώσεις που έχουμε απόκλιση των ρευμάτων των βοηθητικών πηγών (divergence of current amplitudes), την εμφάνιση εσφαλμένων ιδιοτιμών σε προβλήματα ανάλυσης κυματοδηγών, ή και όταν απαιτείται υπολογισμός πεδίων σε περιοχές με υψηλή αγωγιμότητα. Η διατριβή πραγματεύεται την εφαρμογή της ΜΒΠ σε προβλήματα που υφίστανται οι προαναφερθείσες συνθήκες.Συγκεκριμένα, εφαρμόζουμε τη ΜΒΠ σε προβλήματα Η/Μ σκέδασης από κυλίνδρους τέλειων αγωγών (Perfect Electric Conductor-PEC), με κύριο σκοπό τη μελέτη της επίδρασης της απόκλισης (divergence) του πλάτους των βοηθητικών πηγών στον αριθμητικό υπολογισμό των Η/Μ πεδίων. Βρίσκουμε αναλυτικά (για την κυκλική γεωμετρία) και αριθμητικά (για πολύπλοκες γεωμετρίες) ότι, υπό ορισμένες συνθήκες, ακόμα και όταν τα ρεύματα αποκλίνουν, τα αποτελέσματα των πεδίων είναι ορθά.Στην συνέχεια εφαρμόζεται η ΜΒΠ για την εύρεση των ιδιοτιμών (eigenvalues) μεταλλικών κυματοδηγων με αυθαίρετη διατομή. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος των εσφαλμένων ιδιοτιμών, ακολουθείται μια διαφορετική από την συνηθισμένη προσέγγιση κατά την οποία, ο κυματοδηγός διεγείρεται από κάποια πηγή (excitation source) όπως π.χ. σημειακή πηγή ή επίπεδο κύμα. Έτσι προκύπτει η ΜΒΠ με Πηγή Διέγερσης (ΜΒΠ-ΠΔ). Οι ιδιοτιμές σε αυτή την περίπτωση υπολογίζονται εντοπίζοντας τους κυματάριθμους εκείνους για τους οποίους έχουμε συντονισμό στην διατομή του κυματοδηγού. Ο συντονισμός εντοπίζεται από τις μέγιστες τιμές μιας κατάλληλα ορισμένης συνάρτησης απόκρισης.Έπειτα επεκτείνουμε την ΜΒΠ-ΠΔ αποδεικνύοντας ότι οι συντονισμοί εντοπίζονται και από την μεγιστοποίηση της απόλυτης τιμής του διανύσματος των βοηθητικών πηγών. To πλεονέκτημα αυτής της προσέγγισης σε σχέση με την αντίστοιχη της συνάρτησης απόκρισης, είναι η απλότητα του αλγορίθμου, η σαφήνεια της καμπύλης απόκρισης, καθώς και η ταχύτητα εξαγωγής των αποτελεσμάτων. Επιπλέον, παρουσιάζεται και ένας αλγόριθμος με τον οποίο επιτυγχάνεται ταχύτατος υπολογισμός του πίνακα εμπέδησης.Η ΜΒΠ-ΠΔ εφαρμόζεται και στην περίπτωση των διηλεκτρικών κυματοδηγών. Δεδομένου ότι στους διηλεκτρικούς κυματοδηγούς διαδίδονται γενικά υβριδικοί ρυθμοί, απαιτούνται δύο πηγές διέγερσης ταυτόχρονα, μια ηλεκτρική και μία μαγνητική, ώστε να προκύπτουν ορθά αποτελέσματα. Έτσι προκύπτει η ΜΒΠ με Δύο Πηγές Διέγερσης. Αποδεικνύεται αριθμητικά ότι αν οι πηγές διέγερσης τοποθετούνται εντός μιας περιοχής που περικλείεται από μια βέλτιστη καμπύλη, δεν εμφανίζονται εσφαλμένες ιδιοτιμές στο διάγραμμα απόκρισης.Τέλος, διερευνάται η αποτελεσματικότητα του μονοστρωματικού γραφενίου ως υλικού κατάλληλου για ηλεκτρομαγνητική θωράκιση. Η μεγάλη αγωγιμότητα του γραφενίου σε RF συχνότητες σε συνδυασμό με άλλες ιδιότητες του όπως η διαφάνεια στο οπτικό φάσμα, η μηχανική αντοχή, η ελαστικότητα, η θερμική αγωγιμότητα κ.α, το καθιστούν ιδανικό υλικό για Η/Μ θωράκιση. Διερευνώνται αριθμητικά περιπτώσεις κυλινδρικών δομών που έχουν ως θωράκιση γραφένιο το οποίο έχει αποτεθεί σε διοξείδιο του πυριτίου. Δεδομένου ότι η συνήθης ΜΒΠ εμφανίζει δυσκολίες στην εύρεση πεδίων σε υλικά με μεγάλη αγωγιμότητα, προτείνεται τροποποιημένη ΜΒΠ σύμφωνα με την οποία αντικαθίσταται το γραφένιο με μία Συνοριακή Συνθήκη Πίνακα Εμπέδησης. Με αυτό τον τρόπο αποφεύγουμε τον υπολογισμό των πεδίων στο εσωτερικό του γραφενίου. Τα αριθμητικά αποτελέσματα δείχνουν ότι το γραφένιο μπορεί να παρέχει έως και 40 dB θωράκιση στην RF περιοχή.