Εφαρμογές της γεωμετρίας της πληροφορίας

Abstract

Information geometry usually refers to a class of geometries characterized from metrics and corresponding connections related to the notion of statistical information during the process of parameter estimation on classical or quantum systems.We are aware of the fact that in parameter estimation we can't achieve perfectness. There is a lower bound, which is not zero, for the variance - covariance of the estimated parameter compared to the real parameter, the Cramer - Rao bound. In classical parameter estimation, this bound is given by the reciprocal of Fisher information and is unique in the sense that the Fisher is the unique monotone metric under stochastic transformations. In quantum parameter estimation there is a class of monotone metrics and the lowest possible bound, which determines the best quality of estimation, is given by that of the Symmetric Logarithmic Derivative (SLD). The term "symmetric" determines the derivative type, since there are more than one types due to the non-commutativity of operators, in general, in quantum mechanics.In our first published paper in the framework of this Ph.D. thesis, we are working beyond the class on monotone metrics. We are using the phase space to define a new statistical metric. This is achieved by introducing logarithmic derivatives through the Husimi Q distribution and consequently the new metric. As it turns out the related bound of Cramer - Rao type, can be greater even of this of the Symmetric Logarithmic Derivative.In our second paper, we refer to a particular bi-parameter family of generalized entropies used for the classification of complex systems. By defining a divergence for the discrete distribution, we consequently define a metric and the corresponding Levi - Civita connection, which depend on the two parameters say c and d. So, we are having geometrical objects with statistical content like the Cramer - Rao bound and the scalar curvature, which is characteristic (and different) for every class of complex systems.In our third paper, we are treating the above parameters c and d as coordinates of a two dimensional manifold. By calculating the Fisher metric and the corresponding scalar curvature we observe particular values of c and d for which we are making the conjecture that they related with particular properties of complex systems.Finally, we are highlighting a correlation of the curvature of a particular manifold and quantum entanglement. In particular, we are using the entropy of entanglement to define a two dimensional manifold, which we embed into three dimensional real space. We find that in the region which this surface has maximum curvature we have product quantum states and only there.

Η Γεωμετρία της πληροφορίας, αποτελεί στην ουσία κλάση γεωμετριών που χαρακτηρίζονται από μετρικές και αντίστοιχες συνοχές με περιεχόμενο που συσχετίζεται με την διαθέσιμη πληροφορία κατά την εκτίμηση παραμέτρων κλασικών ή κβαντικών συστημάτων. Γνωρίζουμε ότι κατά την εκτίμηση παραμέτρων δεν μπορούμε να πετύχουμε την τελειότητα. Υπάρχει ένα κάτω φράγμα, το οποίο δεν είναι μηδενικό, για την διασπορά - συνδιασπορά της εκτιμώμενης παραμέτρου σε σχέση με την πραγματική, το φράγμα Cramer - Rao. Στην κλασική εκτίμηση παραμέτρων αυτό το φράγμα δίνεται από τον αντίστροφο της πληροφορίας κατά Fisher και είναι μοναδικό, με την έννοια ότι η μετρική Fisher είναι η μοναδική μονότονη μετρική κάτω από στοχαστικούς μετασχηματισμούς. Στην κβαντική εκτίμηση παραμέτρων υπάρχει μια κλάση μονότονων μετρικών και το ελάχιστο πιθανό φράγμα, που καθορίζει και την βέλτιστη ποιότητα της εκτίμησης δίνεται από αυτό της συμμετρικής λογαριθμικής παραγώγου. Ο όρος "συμμετρική" προσδιορίζει το είδος της παραγώγου. Προσδιορισμός, ο οποίος εδώ είναι απαραίτητος λόγω της μη αντιμετάθεσης, γενικά, τελεστών στην κβαντική μηχανική. Στην πρώτη δημοσιευμένη εργασία στα πλαίσια αυτής της διατριβής, ξεφεύγουμε από το αυστηρό πλαίσιο των μονότονων μετρικών. Περνώντας στο χώρο των φάσεων ορίζουμε μια μετρική με στατιστικό περιεχόμενο, ορίζοντας λογαριθμικές παραγώγους μέσω της κατανομής Q - Husimi και από αυτές την καινούργια μετρική. Όπως προκύπτει, το συνεπαγόμενο φράγμα τύπου Cramer -Rao μπορεί να είναι μεγαλύτερο και από αυτό της συμμετρικής λογαριθμικής παραγώγου.Στην δεύτερη εργασία, επιστρατεύουμε συγκεκριμένη διπαραμετρική οικογένεια γενικευμέων εντροπιών που χρησιμοποιήθηκαν για την ταξινόμηση των πολύπλοκων συστημάτων. Αφού ορίσουμε απόκλιση για την διακριτή κατανομή, περνάμε μέσω αυτής σε μετρική και κατ' επέκταση και στη συνοχή Levi - Civita που εξαρτώνται πλέον από αυτές τις δυο παραμέτρους, έστω c και d. Έτσι έχουμε γεωμετρικά αντικείμενα, με στατιστικό περιεχόμενο όπως το φράγμα Cramer - Rao και η βαθμωτή καμπυλότητα, τα οποία είναι χαρακτηριστικά (και διαφορετικά) για κάθε κλάση συστημάτων.Στην τρίτη εργασία χρησιμοποιούμε τις προαναφερθείσες παραμέτρους c και d ως συντεταγμένες διδιάστατης πολλαπλότητας. Υπολογίζοντας την μετρική Fisher και την συνεπαγόμενη βαθμωτή καμπυλότητα παρατηρούμε ιδιομορφίες για συγκεκριμένες τιμές των c και d οι οποίες εικάζουμε συσχετίζονται με συγκεκριμένες ιδιότητες πολύπλοκων συστημάτων.Τέλος, αναδεικνύουμε συσχέτιση μεταξύ της καμπυλότητας συγκεκριμένης πολλαπλότητας και της κβαντικής σύμπλεξης. Συγκεκριμένα χρησιμοποιούμε την εντροπία της σύμπλεξης για να ορίσουμε διδιάστατη πολλαπλότητα την οποία εμβαπτίζουμε στον τριδιάστατο πραγματικό χώρο. Βρίσκουμε ότι εκεί που αυτή η επιφάνεια έχει μεγάλη καμπυλότητα έχουμε κβαντικές καταστάσεις γινομένου και μόνο.