Η κατανόηση της έννοιας του ορίου πραγματικών συναρτήσεων δύο μεταβλητών σε πανεπιστημιακό επίπεδο

Abstract

Several research studies have been conducted to investigate how first-year students ‘sharpen’ their concept images to understand the formal definition of limit, as students move from school mathematics to the most strictly formal mathematics at the University. At the very beginning of a Real Analysis I course, students acquire experience of the limits of functions of one variable in the discrete field and the continuous field. Because of this, many researchers have dealt with the concept of limit in the case of one variable, but far fewer have dealt with the case of two variables. This paper aims to present research consisting of two experiments carried out on second-year students of the Department of Mathematics, University of Patras. The students dealt with alternative definitions and approaches of the limit of functions with domain R^2 and co-domain in R and which meet necessary and sufficient conditions, or only the necessary ones. In particular, students were given problems in the form of tests that included the examination of the limiting behavior of a function of two variables using different approaches. Both the written responses of the students and the interviews with them were analyzed as to how they justified their choices and the images they created for the concept of limit. Several of the participating students managed to some extent to compare the different definitions and approaches. However, other students from the two groups of participants appeared to adopt ‘routine’ techniques and handling skills that lacked a conceptual basis. Moreover, the schemas designed by the students were incomplete, and they were unable to convincingly explain how they were modeled. At the same time, there were misunderstandings about how they perceived the limits of functions of one variable˙, and, as expected, they transferred their conceptual images from this case to the two variables. Student misunderstandings with regard to the concept of limit are believed to be due to the ‘nature’ of the subject itself, but also to the ineffective teaching approach through which this concept and its corresponding definitions are often presented in both the teaching and the presentation in some textbooks. Moreover, we note that knowledge used efficiently within the context of a certain cognitive area, and which is therefore consolidated, can fail to be applied satisfactorily in another context. This is indeed apparent from the difficulties faced by students when examining the existence of the limit of a two-variable function even if they are familiar with this concept in the case of one variable.

Αρκετές έρευνες έχουν διεξαχθεί με σκοπό να διερευνηθεί πώς οι πρωτοετείς φοιτητές ‘αυστηροποιούν’ τις διαισθητικές τους εικόνες, ώστε να κατανοήσουν τον τυπικό ορισμό του ορίου, καθώς μεταβαίνουν από τα σχολικά Μαθηματικά στα πιο αυστηρά τυπικά Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο. Οι φοιτητές σε ένα πρώτο μάθημα της Πραγματικής Ανάλυσης Ι αποκτούν εμπειρία στα όρια συναρτήσεων μιας μεταβλητής στο διακριτό πεδίο/επίπεδο και στο συνεχές. Εξαιτίας αυτού, πολλοί ερευνητές έχουν ασχοληθεί με την έννοια του ορίου στην περίπτωση της μίας μεταβλητής, αλλά πολύ λιγότεροι έχουν ασχοληθεί με την περίπτωση των δύο μεταβλητών. Η διατριβή αυτή, επιχειρεί να παρουσιάσει μία έρευνα που αποτελείται από δύο πειράματα που διενεργήθηκαν σε δευτεροετείς φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Οι φοιτητές ασχολήθηκαν με εναλλακτικούς ορισμούς και προσεγγίσεις του ορίου συναρτήσεων που έχουν πεδίο ορισμού το R^2 και εικόνα στο R και που ικανοποιούν αναγκαίες και ικανές συνθήκες ή μόνο αναγκαίες. Ειδικότερα, στους φοιτητές δόθηκαν προβλήματα με τη μορφή test που περιλάμβαναν τη διερεύνηση της οριακής συμπεριφοράς μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών με τη χρήση διαφορετικών προσεγγίσεων. Οι γραπτές απαντήσεις των φοιτητών αλλά και οι συνεντεύξεις μαζί τους, αναλύθηκαν ως προς τον τρόπο που αιτιολογούσαν τις επιλογές τους και ως προς τις εικόνες που σχημάτισαν για την έννοια του ορίου. Αρκετοί από τους φοιτητές που συμμετείχαν, κατάφεραν ως ένα βαθμό να αντιπαραβάλουν τους διαφορετικούς ορισμούς και προσεγγίσεις μεταξύ τους. Ωστόσο, άλλοι φοιτητές από τις δύο ομάδες συμμετεχόντων φάνηκε να υιοθετούν τεχνικές ‘ρουτίνας’ και δεξιότητες χειρισμού που στερούνταν εννοιολογικής βάσης. Επιπλέον, τα σχήματα που σχεδίασαν οι φοιτητές ήταν ελλιπή και δεν ήταν σε θέση να εξηγήσουν πειστικά τον τρόπο διαμόρφωσής τους. Παράλληλα, παρατηρήθηκαν παρανοήσεις σχετικά με το πώς αντιλαμβάνονταν τα όρια για συναρτήσεις μίας μεταβλητής˙, και, όπως ήταν αναμενόμενο, μετέφεραν τις εννοιακές τους εικόνες από την περίπτωση αυτή στην περίπτωση των δύο μεταβλητών. Οι παρανοήσεις των φοιτητών όσον αφορά την έννοια του ορίου, πιστεύουμε ότι οφείλονται στη ‘φύση’ αυτή καθαυτή του αντικειμένου, αλλά και στη μη αποτελεσματική διδακτική προσέγγιση, μέσω της οποίας παρουσιάζεται πολλές φορές η έννοια αυτή και οι αντίστοιχοι ορισμοί της τόσο στη διδασκαλία, όσο και στην παρουσίαση σε ορισμένα εγχειρίδια. Επίσης, σημειώνουμε ότι η γνώση που εφαρμόζεται αποτελεσματικά και εδραιώνεται στο πλαίσιο μιας συγκεκριμένης περιοχής γνώσης, μπορεί να αποτύχει να εφαρμοστεί ικανοποιητικά σε ένα άλλο πλαίσιο. Πράγματι, αυτό φαίνεται από τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι φοιτητές όταν εξετάζουν την ύπαρξη του ορίου μια συνάρτησης δύο μεταβλητών ακόμα και εάν είναι εξοικειωμένοι με τη συγκεκριμένη έννοια στην περίπτωση της μίας μεταβλητής.