Παιγνιοθεωρητικές πτυχές του παιγνίου - αστυνόμοι και ληστής - και παραλλαγών αυτού

Abstract

In the present thesis we introduce some variants of the “Cops and robber” game (CR) and then we analyze game theoretically the original game and these variants, within the framework of stochastic games. CR is a pursuit-evasion game in graphs, between a player controlling a number of cops and a robber. Given a graph, the central questions that arise are: (a) what is the minimum number of cops needed to guarantee capture, a quantity called “the cop number of the graph”, and (b) which are the optimal strategies of the players. The games we introduce are: (a) the “Concurrent CR game” (CCR) where contrary to the original game players move simultaneously (and not sequentially), (b) the game “Selfish cops and passive robber” (SCPR) where two players, the cops, pursue independently one from the other a passive robber, and (c) the game “Selfish cops and active robber” (SCAR) where a number of cops pursue, independently one from the other a robber trying to evade. We model CR, CCR and SCPR as stochastic (2-player) zero sum games and we show the existence of value and optimal positional strategies in all cases and we present algorithms computing these. In CCR we also define “the concurrent cop number of a graph”, analogously to the classical definition and then we show it is always equal to the original cop number. SCAR we model as a stochastic N-player game between Ν-1 cops and a robber and we show it always has both positional and non-positional Nash equilibria. We also show a number of results relating cop number to capturability and, having first defined “the selfish cop number of a graph”, we then show it is always equal to the classical cop number.

Στην παρούσα διατριβή εισάγουμε ορισμένες παραλλαγές του παιγνίου «Αστυνόμοι και Ληστής» (CR) και κατόπιν αναλύουμε παιγνιοθεωρητικά, τόσο το πρωτότυπο παίγνιο, όσο και αυτές τις παραλλαγές, στο πλαίσιο των στοχαστικών παιγνίων. Το CR είναι ένα παίγνιο καταδίωξης σε γράφημα, μεταξύ ενός παίκτη που ελέγχει ένα αριθμό αστυνόμων και ενός ληστή. Δεδομένου γραφήματος τα κεντρικά ερωτήματα τότε είναι: (α) ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός αστυνόμων που εγγυάται σύλληψη, ποσότητα που ονομάζουμε «αστυνομικό αριθμό του γραφήματος» και (β) ποιες είναι οι βέλτιστες στρατηγικές των παικτών. Τα παίγνια που εισάγουμε είναι: (α) το «Σύγχρονο Παίγνιο» (CCR) όπου σε αντίθεση με το πρωτότυπο οι παίκτες κινούνται ταυτοχρόνως (και όχι εναλλάξ), (β) το παίγνιο «Ιδιοτελείς Αστυνόμοι και Παθητικός Ληστής» (SCPR) όπου δύο παίκτες, οι αστυνόμοι, καταδιώκουν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο ένα παθητικό Ληστή, και (γ) το παίγνιο «Ιδιοτελείς Αστυνόμοι και Ενεργητικός Ληστής» (SCAR) όπου ένας αριθμός αστυνόμων καταδιώκουν, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, ένα ληστή που επιχειρεί να διαφύγει. Τα CR, CCR και SCPR τα μορφοποιούμε ως στοχαστικά (2-παικτών) παίγνια μηδενικού αθροίσματος και δείχνουμε σε κάθε περίπτωση την ύπαρξη αξίας και βέλτιστων θεσιακών στρατηγικών, ενώ παρουσιάζουμε και αλγόριθμους υπολογισμού αυτών. Στο CCR ορίζουμε επιπλέον τον «σύγχρονο αστυνομικό αριθμό γραφήματος», αναλόγως με τον κλασικό ορισμό και δείχνουμε ότι ισούται πάντα προς τον κλασικό αστυνομικό αριθμό. Το SCAR το μορφοποιούμε ως ένα στοχαστικό, Ν-παικτών παίγνιο μεταξύ, Ν-1 αστυνόμων και ενός ληστή και δείχνουμε ότι δέχεται πάντα σημεία ισορροπίας κατά Nash σε θεσιακές και μη θεσιακές στρατηγικές. Επιπλέον δείχνουμε μία σειρά αποτελεσμάτων που συνδέουν τον αστυνομικό αριθμό με τη συλληψιμότητα και, αφού πρώτα ορίσουμε τον «ιδιοτελή αστυνομικό αριθμό γραφήματος», δείχνουμε κατόπιν ότι ισούται πάντα προς τον κλασικό αστυνομικό αριθμό.