Θεωρία μη ομογενών μαρκοβιανών συστημάτων ανώτερης τάξης

Abstract

In the current dissertation we are defining and founding the inhomogeneous Markov system of high order, which takes into consideration the fact that the transition of a member depends not only on its present state but also on the states in which the member was during the preceding time moments, let be the number. In this respect, we introduce the superficial razor cut mixture transition distribution model. We examine the asymptotic behavior of the system, under assumptions easily met in practice. We prove that asymptotically the marginal probability distribution converges, to the respective marginal probability distribution of the first order homogeneous Markov chain. We also determine the asymptotic behavior of the expected population structure and that of the relative expected population structure for the inhomogeneous Markov system of high order. We continue by examining the variability of the state sizes of the inhomogeneous Markov system and their relation with the respective variability for the N.H.M.S. of first order. We also determine the asymptotic behavior of the variability of the state sizes, under assumptions easily met in practice. Finally, we determine the relationship satisfied by the join probabilities of the inhomogeneous Markov chain of lag and provide the conditions under which we have a unique solution. We examine the structure of the autocorrelations and prove that they satisfy a system of linear equations, which is analogue with the one by Yule-Walker in time series.

Στην παρούσα διατριβή θεμελιώνουμε το μη ομογενές Μαρκοβιανό Σύστημα ανώτερης τάξης, το οποίο λαμβάνει υπόψη το γεγονός ότι εν γένει η μετάβαση ενός μέλους εξαρτάται όχι μόνο από το παρόν, αλλά και από τις καταστάσεις στις οποίες βρέθηκε κατά τις προηγούμενες χρονικές στιγμές, έστω το πλήθος. Στα πλαίσια αυτού του συστήματος εισάγουμε το μη ομογενές επιφανειακής τομής μίξης μοντέλο κατανομής μετάβασης. Διερευνούμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά του συστήματος, κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες οι οποίες είναι εύκολο να συναντηθούν στην πράξη και αποδεικνύουμε ότι ασυμπτωτικά η περιθώρια κατανομή του, συγκλίνει σε αυτήν της πρώτης τάξης ομογενούς Μαρκοβιανής Αλυσίδας. Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της αναμενόμενης πληθυσμιακής δομής και της αναμενόμενης σχετικής πληθυσμιακής δομής του μη ομογενούς Μαρκοβιανού Συστήματος ανώτερης τάξης. Κατόπιν διερευνούμε τη μεταβλητότητα των μεγεθών των καταστάσεων του μη ομογενούς Μαρκοβιανού Συστήματος και τη συνδέουμε με την αντίστοιχη του Μ.Ο.Μ.Σ. πρώτης τάξης και προσδιορίζουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της, σύμφωνα με προϋποθέσεις που μπορεί εύκολα να συναντηθούν στην πράξη. Αποδεικνύουμε τη σχέση που ικανοποιούν οι από κοινού πιθανότητες των πραγματώσεων της μη ομογενούς Μαρκοβιανής Αλυσίδας υστέρησης και δίνουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες εξασφαλίζεται μοναδική λύση. Εξετάζουμε τη δομή των αυτοσυσχετίσεών τους και αποδεικνύουμε ότι ικανοποιούν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, παρόμοιο με αυτό των Yule-Walker των χρονικών σειρών.