Η επίλυση και δημιουργία προβλημάτων ως κριτήριο ταλαντούχων νέων στα μαθηματικά

Abstract

Summary In the text, the initials “M.T.” stand for “Mathematically talented”, the initials “P.S.” stand for “problem solving”, and the initials “P.P.” stand for “problem posing”. Our research examines the processes of solving and of posing mathematical problems as a criterion of finding/certifying mathematically talented students. We first give an informative and critical overview of the current international literature on the concepts of “processes of solving mathematical problems” and of “processes on posing mathematical problems”, of “talented in Mathematics”, “criteria of choice and characterization of talented in Mathematics”. “Education of mathematical talents”. We thoroughly examine the work of five important researchers that is related to the solving and creating of mathematical problems. The set of all these efforts formed the direction of our research.The first part of the field research has to do with how three mathematically talented university students solved a given problem which was new to them, describing themselves the steps they took and explaining their techniques they created and the procedures they followed.The pilot-investigative process on how do high school students conceive the posing of problems was crucial for the formulation of the steps of our research regarding the posing of problems by students with a strong interest in Mathematics.The second part of the field research is on the relations between P.S. and P.P., the problem that mathematical talent create before and after the “training” in P.P. when, given some initial problems, they are asked to set questions and form new problems, which are more difficult than the initial given problems, which generalize the initial problems, etc. We also studied two case studies of mathematical talents regarding P.S. and P.P.Another part of our field research is on how does a professional in P.P. creates problems for mathematical competitions. The observations and the conclusions drawn were related and compared with the conclusions in P.P. by the mathematical talent students from the second part of our Field research.For the processing of this material and the information that came up from the efforts of the solvers and the creators of mathematical problems, the emphasis was given to qualitative analysis.In the results of our research we recorded the importance of P.S. and of P.P. for the finding and educating of talented students, for the teaching of Mathematics, and in general for the Education of Mathematics.

Στο κείμενο η συντομογραφία Μ.Τ. σημαίνει «μαθηματικά ταλαντούχος», η συντομογραφία Ε.Π. σημαίνει «επίλυση προβλήματος», η συντομογραφία Δ.Π. σημαίνει «δημιουργία προβλήματος» και είναι απόδοση του όρου “problem posing”.Η έρευνά μας αφορά στην επίλυση και δημιουργία μαθηματικών προβλημάτων ως κριτηρίου ανίχνευσης των μαθηματικά ταλαντούχων. Προηγήθηκε μια σφαιρική ενημέρω-ση και κριτική επισκόπηση της σύγχρονης διεθνούς βιβλιογραφίας που αφορά τις έννοιες «διαδικασίες επίλυσης μαθηματικού προβλήματος» και «διαδικασίες δημιουργίας μαθηματικού προβλήματος», «ταλαντούχος στα Μαθηματικά», «κριτήρια επιλογής και χαρακτηρισμού των ταλαντούχων στα Μαθηματικά», «εκπαίδευση των Μ.Τ.». Εξετάστηκε επισταμένα το έργο πέντε σημαντικών ερευνητών που σχετίζεται με την επίλυση και δημιουργία μαθηματικών προβλημάτων. Το σύνολο όλων αυτών των προσπαθειών διαμόρφωσε και τον προσανατολισμό της έρευνάς μας.Το πρώτο μέρος της έρευνας Πεδίου αφορά πώς τρεις μαθηματικά ταλαντούχοι σπουδαστές έλυσαν ένα δεδομένο πρόβλημα άγνωστο σε αυτούς, περιγράφοντας οι ίδιοι τα βήματα που ακολούθησαν και ανακοινώνοντας τις τεχνικές που επινόησαν και τις πρακτικές που ακολούθησαν. Η πιλοτική-διερευνητική διαδικασία για το πώς αντιλαμβάνονται οι μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης τη σύνθεση-δημιουργία προβλημάτων, ήταν απαραίτητη για τον σχεδιασμό των βημάτων της έρευνας για τη δημιουργία προβλημάτων από μαθητές με ισχυρό ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά.Το δεύτερο μέρος της έρευνας Πεδίου αφορά τις σχέσεις μεταξύ Ε.Π. και Δ.Π., τα προβλήματα που δημιουργούν οι Μ.Τ. πριν και μετά την «εκπαίδευση» στη Δ.Π. όταν τους ζητείται με βάση κάποια δεδομένα προβλήματα να θέσουν ερωτήματα και να διαμορ-φώσουν νέα προβλήματα ώστε αυτά να γίνουν δυσκολότερα, να γενικευτούν κλπ. Μελετήθηκαν επίσης και δύο ειδικές περιπτώσεις (cases study) Μ.Τ. σχετικά με την Ε.Π. και τη Δ.Π.Ένα άλλο μέρος της έρευνας πεδίου αφορά πώς ένας ειδικός στη Δ.Π. συνθέτει προβλήματα για μαθηματικούς διαγωνισμούς. Οι παρατηρήσεις και τα συμπεράσματα που προέκυψαν συσχετίστηκαν και συγκρίθηκαν με τα αποτελέσματα στη Δ.Π. από τους Μ.Τ. του δεύτερου μέρους της έρευνας Πεδίου.Για την επεξεργασία αυτού του υλικού και των πληροφοριών που προέκυψαν από τις προσπάθειες των λυτών και των δημιουργών μαθηματικών προβλημάτων, η έμφαση δόθηκε στην ποιοτική ανάλυση. Στα συμπεράσματα της έρευνας καταγράφηκε η σημασία της Ε.Π. και Δ.Π. για την ανίχνευση και εκπαίδευση ταλαντούχων, για τη διδασκαλία των Μαθηματικών και γενικότερα για τη μαθηματική Παιδεία.