Γεωμετρικά προβλήματα στη μη - γραμμική συναρτησιακή ανάλυση

Abstract

Blending probabilistic techniques with geometric and analytical tools, we contribute to a number of problems in Asymptotic Geometric Analysis: a) New methods to establish Dvoretzky type theorems, using a method of "Euclidean regularization" of a convex body in John's position, b) Vector balancing problems, c) Estimates for measures of sections of convex bodies, d) Threshold phenomena for high dimensional random polytopes and e) Estimates for the affine quermassintegrals of convex bodies.

Συνδυάζοντας πιθανοθεωρητικές τεχνικές με γεωμετρικά και αναλυτικά εργαλεία, στην παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με έναν αριθμό προβλημάτων που εμπίπτουν στον ευρύτερο κλάδο της Ασυμπτωτικής Γεωμετρικής Ανάλυσης. Τα προβλήματα με τα οποία ασχολούμαστε περιλαμβάνουν α) μια μέθοδο Ευκλείδιας κανονικοποίησης ενός κυρτού σώματος σε θέση John, και εφαρμογές στην απόδειξη θεωρημάτων τύπου Dvoretzky, β) Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων, γ) Εκτιμήσεις για μέτρα τομών κυρτών σωμάτων, δ) Φαινόμενα κατωφλίου για τυχαία πολύτοπα σε υψηλές διαστάσεις και ε) Εκτιμήσεις για τα αφφινικά quermassintegrals κυρτών σωμάτων.