Stochastic modeling of time series with intermittency, persistence and extreme variability, with application to spatio-temporal averages of rainfall fields

Abstract

Motivated by rainfall research, this thesis contributes new insights on mechanisms of precipitation. This is accomplished through a stochastic modelling approach of time series representing intermittency and variability of precipitation cumulatively at large spatial scales. Our objective is to obtain a parsimonious but flexible stochastic model that can capture adequately the spectral power distribution and the marginal probability distribution of time series of spatio-temporal averages of rain rate (STARR) at such large spatial scales, presumably under stationarity conditions. The model conceived and presented in this thesis treats intermittency and variability as two stochastically independent multiplicative components, each contributing partially to the overall persistence of memory or dependence of the model. Specifically, we model intermittency by a stationary renewal process in discrete time, where instants of renewals are marked with the value {1} and otherwise the process attains the value {0}. In particular, we model the probability distribution of waiting (discrete) time between successive renewals by the family of Riemann's zeta-distributions, whose parameter allows for the possibility of heavy tails (i.e. infinite variance), which in turn is an event associated with persistence (i.e. long memory) of the renewal process. Subsequently, conditionally on raining, the overall amount of rain is modelled as a log-infinitely divisible noise process, independent of the zeta-renewal process. Specifically, positive values of STARR during spells of successive renewals are modelled as exponential values of (unitary-lag) stationary increments of a self-similar process known as Linear Fractional Stable Motion, which is obtained by stochastic integration of a certain deterministic kernel with respect to a suitable alpha-stable random measure. That is, conditionally on raining, log-STARR is modelled as Linear Fractional Stable Noise. The contemporaneous product of the stationary zeta-renewal process with the stationary log-LFSN process, provides the stationary model proposed in this dissertation.

Υποκινούμενη από την έρευνα των βροχοπτώσεων, αυτή η διατριβή συνεισφέρει στην κατανόηση μηχανισμών κατακρημνίσεως, ατμοσφαιρικής ή άλλου είδους, μέσω στοχαστικής υποδειγματοποίησης χρονοσειρών που αναπαριστούν τη διαλειπτικότητα και τη μεταβλητότητα κατακρημνίσεως συσσωρευτικά σε μεγάλες χωρικές κλίμακες. Συγκεκριμένα, στοχεύουμε στην κατασκευή στοχαστικού υποδείγματος χρονοσειρών με διαλειπτικότητα και μεταβλητότητα, φειδωλό ως προς το πλήθος παραμέτρων, αλλά αρκετά εύπλαστο ώστε να προσεγγίζει ικανοποιητικά τη φασματική κατανομή ισχύος και την περιθώρια κατανομή πιθανότητας χρονοσειρών χωρο-χρονικών μέσων τιμών έντασης βροχής (STARR) σε μεγάλες χωρικές κλίμακες, κάτω από συνθήκες (χρονικής) στασιμότητας. Το υπόδειγμα που συνθέτουμε και παρουσιάζουμε σε τούτη τη διατριβή διαχειρίζεται τη διαλειπτικότητα και τη μεταβλητότητα ως δύο στοχαστικά ανεξάρτητες πολλαπλασιαστικές συνιστώσες, καθεμία από τις οποίες συνεισφέρει μερικώς στην συνολική εμμονή μνήμης ή εγγενούς στοχαστικής εξάρτησης του υποδείγματος. Συγκεκριμένα, υποδειγματοποιούμε τη διαλειπτικότητα μέσω στάσιμης ανανεωτικής διαδικασίας σε διακριτό χρόνο, στης οποίας τις στιγμές ανανέωσης απονέμεται η τιμή {1}, ενώ διαφορετικά η διαδικασία διατηρεί την τιμή {0}. Ειδικότερα, υιοθετούμε την οικογένεια Riemann ζ-κατανομών ως υπόδειγμα για την κατανομή πιθανότητας του (διακριτού) χρόνου αναμονής μεταξύ διαδοχικών ανανεώσεων, της οποίας η παράμετρος επιτρέπει βαρείς ουρές (δηλαδή άπειρη διακύμανση), ενδεχόμενο το οποίο φυσικά συνδέεται με εμμονή (ή μακρομνήμη) της ανανεωτικής διαδικασίας. Ακολούθως, στην υγρή κατάσταση, η συνολική ποσότητα βροχής υποδειγματοποιείται ως λογαριθμικά απείρως διαιρετός θόρυβος, ανεξάρτητος της ζ-ανανεωτικής διαδικασίας διαλειπτικότητας. Ειδικότερα, θετικές τιμές STARR κατά τη διάρκεια διαδοχικών ανανεώσεων υποδειγματοποιούνται ως εκθετικοποιημένες στάσιμες προσαυξήσεις (μοναδιαίας υστέρησης) αυτο-όμοιας διαδικασίας, γνωστή στη βιβλιογραφία ως Γραμμική Κλασματική Ευσταθής Κίνηση (LFSM), η οποία προκύπτει από στοχαστική ολοκλήρωση συγκεκριμένου ντετερμινιστικού πυρήνα ως προς κατάλληλο α-ευσταθές τυχαίο μέτρο. Δηλαδή, στην υγρή κατάσταση βροχής {1}, οι τιμές log-STARR υποδειγματοποιούνται ως Γραμμικός Κλασματικός Ευσταθής Θόρυβος (LFSN). Το ταυτόχρονο γινόμενο της στάσιμης ζ-ανανεωτικής διαδικασίας διαλειπτικότητας με τη στάσιμη λογαριθμική διαδικασία log-LFSN είναι το προτεινόμενο υπόδειγμα στάσιμων χρονοσειρών STARR.