A finite element mesh smoothing method based on geometric element transformations

Abstract

The geometric element transformation method (GETMe) described in this work is a novel approach to finite element mesh smoothing. It is based on regularizing element transformations represented by geometric constructions, which iteratively improve the regularity and thus the quality of single elements. Such transformations are defined and analyzed for arbitrary polygonal elements as well as for the most common volumetric element types. In a first stage, GETMe smoothing improves global mesh quality by averaging the new node positions obtained by element-wise applied transformations. In a second stage, minimal element quality is improved by successively transforming the worst elements of the mesh. These stages are generalized by an adaptive variant of GETMe smoothing and aspects of implementation and parallelization are discussed. Various numerical examples presented in this work confirm that GETMe smoothing leads to superior mesh quality if compared to other geometry-based methods like variants of Laplacian smoothing. In terms of resulting mesh quality, it can even compete with state of the art global optimization-based techniques, despite being conceptually significantly simpler and considerably faster. On the example of Poisson's equation it will also be shown numerically that this smoothing method is particularly suitable, from a finite element application point of view, since it leads to a significant reduction of discretization errors within the first few smoothing steps requiring only little computational effort.

Η μέθοδος μετασχηματισμού γεωμετρικών στοιχείων (GETMe) που αναλύεται και περιγράφεται στην παρούσα διατριβή έχει εισαχθεί ως νέα προσέγγιση για αποτελεσματική και αποδοτική εξομάλυνση πλεγμάτων πεπερασμένων στοιχείων. Βασικός στόχος της μεθόδου είναι η βελτίωση της σταθερότητας, της αποτελεσματικότητας και της ακρίβειας των υπολογισμών πεπερασμένων στοιχείων. Βασίζεται σε κανονικοποιητικούς γεωμετρικούς μετασχηματισμούς στοιχείων, οι οποίοι βελτιώνουν επαναληπτικά την κανονικότητά τους και κατά συνέπεια την ποιότητα των στοιχείων. Οι μετασχηματισμοί ορίζονται και αναλύονται για τυχαία πολυγωνικά στοιχεία, καθώς και για τους πιο κοινούς τύπους τρισδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων. Σε ένα πρώτο στάδιο, η νέα μέθοδος εξομάλυνσης βελτιώνει τη συνολική ποιότητα του πλέγματος εξάγοντας το μέσο όρο των νέων θέσεων κόμβων που προκύπτουν από μετασχηματισμούς που εφαρμόζονται σε κάθε στοιχείο. Σε ένα δεύτερο στάδιο, η ελάχιστη ποιότητά τους βελτιώνεται μέσω διαδοχικών μετασχηματισμών των χαμηλής ποιότητας στοιχείων του πλέγματος. Αυτά τα στάδια γενικεύονται από μια προσαρμοστική παραλλαγή της εξομάλυνσης GETMe και συζητούνται πτυχές της εφαρμογής και της παραλληλοποίησης. Ικανός αριθμός αριθμητικών παραδειγμάτων που παρουσιάζονται σε αυτό το έργο επιβεβαιώνουν ότι η προταθείσα μέθοδος οδηγεί σε ανώτερη ποιότητα πλεγμάτων σε σύγκριση με άλλες μεθόδους βασιζόμενες στη γεωμετρία, όπως οι διάφορες παραλλαγές της εξομάλυνσης Laplace. Όσον αφορά την ποιότητα των πλεγμάτων που προκύπτει, μπορεί να ανταγωνιστεί ακόμη και τις υπερσύγχρονες τεχνικές βασιζόμενες στην καθολική βελτιστοποίηση (Global Optimization), ενώ είναι σημαντικά απλούστερη ως προς τη σύλληψη και πολύ ταχύτερη. Από τη σκοπιά της υπολογιστικής μηχανικής στο παράδειγμα της εξίσωσης του Poisson, τεκμηριώνεται επίσης αριθμητικά ότι η μέθοδος είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική στη βελτίωση της απόδοσης της ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων, αφού οδηγεί σε σημαντική μείωση των σφαλμάτων διακριτοποίησης εντός των πρώτων λίγων βημάτων εξομάλυνσης που απαιτούν μικρή μόνο υπολογιστική προσπάθεια. Η σύγκριση με αναλυτικές λύσεις επιβεβαιώνει την ισχύ της μεθόδου. Η κατανόηση του μαθηματικού υποβάθρου των μετασχηματισμών κανονικοποίησης (συμμετρικοποίησης) μπορεί να οδηγήσει στη δημιουργία νέων γενετών πλεγμάτων πεπερασμένων στοιχείων. Από τη σκοπιά της πρακτικής εφαρμογής της μεθόδου, μόνο οι υψηλές απαιτήσεις προβλημάτων της υπολογιστικής μηχανικής θα της δώσουν τη θέση που της αρμόζει.