A study on geodetic boundary value problems in ellipsoidal geometry

Abstract

In this thesis, special geodetic problems are treated as boundary value problems. Thegeodesic problem, the gravity field due to a homogeneous ellipsoid and the linearfixed altimetry-gravimetry problem are thoroughly studied in ellipsoidal geometry.The study is not limited on a biaxial ellipsoid (oblate spheroid), which is the wellknownmathematical model used in geodesy, but is extended on a triaxial ellipsoid.The key issue in the current analysis is the expression of the above problems in thesuitable ellipsoidal coordinate system.The ellipsoidal coordinate system is described in some detail. For a one-to-onecorrespondence between ellipsoidal and Cartesian coordinates two variants ofellipsoidal coordinates are introduced. The transformation between ellipsoidal andCartesian coordinates on a triaxial ellipsoid is presented in these two variants. Also,the element of distance and Laplace’s equation are expressed in these coordinates.The classical transformation between ellipsoidal and Cartesian coordinates on abiaxial ellipsoid is presented as a degenerate case.The geodesic problem on a triaxial ellipsoid is solved as a boundary valueproblem, using the calculus of variations. The boundary value problem is formulatedby means of the Euler-Lagrange equation and consists of solving a non-linear secondorder ordinary differential equation, subject to the Dirichlet conditions. Subsequently,this problem is reduced to an initial value problem with Dirichlet and Neumannconditions. The Neumann condition is determined iteratively by solving a system offour first-order ordinary differential equations with numerical integration. The lastiteration yields the solution of the boundary value problem. From the solution, theellipsoidal coordinates and the angle between the line of constant longitude and thegeodesic, at any point along the geodesic, are determined. Also, the constant inLiouville’s equation is determined and the geodesic distance between the two points,as an integral, is computed by numerical integration. To demonstrate the validity ofthe method, numerical examples are given. The geodesic boundary value problem andits solution on a biaxial ellipsoid are obtained as a degenerate case. In this case, using a special case of the Euler-Lagrange equation, the Clairaut equation is verified and the Clairaut constant is precisely determined. Also, the numerical tests are validated bycomparison to Vincenty’s method.The exterior gravity potential and its derivative induced by a homogeneoustriaxial ellipsoid are presented. Some expressions, which are used for therepresentation of the exterior gravitational potential, are mentioned. Subsequently, the λ tan-1a sa sxy όπου οι τιμές των 1 s , 2 s , 3 s υπολογίζονται από την επίλυση κατάλληλης κυβικήςεξίσωσης. Τέλος, ο κλασικός μετασχηματισμός μεταξύ ελλειψοειδών καιΚαρτεσιανών συντεταγμένων στο διαξονικό ελλειψοειδές παρουσιάζεται ως μιαεκφυλισμένη περίπτωση.Το γεωδαισιακό πρόβλημα περιλαμβάνει τον προσδιορισμό της γεωδαισιακήςμεταξύ δύο σημείων 0 0 0 P β , λ και 1 1 1 P β , λ σε ένα ελλειψοειδές. Στην παρούσαμελέτη, το γεωδαισιακό πρόβλημα στο τριαξονικό ελλειψοειδές επιλύεται ως έναπρόβλημα συνοριακών τιμών χρησιμοποιώντας το λογισμό μεταβολών. Διακρίνονταιδύο περιπτώσεις όπου η γεωδαισιακή περιγράφεται ως: (i) β = β(λ) και (ii) λ = λ(β). Το συνοριακό πρόβλημα τυποποιείται σύμφωνα με την εξίσωση Euler-Lagrange καιπεριλαμβάνει την επίλυση μίας μη γραμμικής δεύτερης τάξης συνήθη διαφορικήεξίσωση. Στην πρώτη περίπτωση, η εξίσωση έχει τη μορφήmathematical framework using ellipsoidal coordinates is derived. In this case, thegravitational potential includes elliptic integrals which can be computed by anumerical integration method. From the gravity potential, the gravity vectorcomponents are subsequently obtained. The novel general expressions can be appliedto a triaxial and a biaxial ellipsoid. Also, the gravity field due to a homogeneousoblate spheroid is obtained as a degenerate case. Numerical examples are given inorder to demonstrate the validity of the general expressions.The linear fixed altimetry-gravimetry boundary value problem is analyzedwith respect to the existence and uniqueness of the solution. Nowadays, it is possible to determine very precisely points on the physical surface of the Earth by threedimensionalsatellite positioning and the problem is to determine the disturbingpotential in an unbounded domain representing the exterior of the Earth. In order toestablish realistic boundary conditions, a Dirichlet condition is imposed at seas and anoblique derivative condition on land. Then, mathematical methods are used, withinthe frame of functional analysis, for attacking the problem under consideration.Specifically, the Stampacchia theorem is used to decide upon the existence anduniqueness of the weak solution of the problem in a weighted Sobolev space. Finally,it is confirmed that the condition of validity for such a theorem has a geometricalinterpretation. Lastly, a method for solving the problem of height datum unification ispresented. This is essentially a problem of determining the potential differencesamong different height datums. The local height datums vary mainly due to differentways of their definition, methods of realization and the fact that they are based onlocal data. The main approaches for determining potential differences are outlined andcompared, taking into account the recent developments in the theory of geodeticboundary value problems (BVPs). This allowed us to select the fixed mixed BVP as the most suitable type for the estimation of the quasigeoid, which has the advantagethat is independent of any local height datums and it can be regarded as a globalheight datum. The basic method of datum unification relies on the comparison of thepotential differences of each local height datum with the so-determined global heightdatum (i.e. the quasigeoid).

Στην παρούσα διατριβή, ειδικά γεωδαιτικά προβλήματα αντιμετωπίζονται ωςπροβλήματα συνοριακών τιμών. Το γεωδαισιακό πρόβλημα, το πεδίο βαρύτητας πουπαράγεται από ένα ομογενές ελλειψοειδές και το γραμμικό δεσμευμένο αλτιμετρικό-βαρυτημετρικό πρόβλημα μελετώνται πλήρως σε ελλειψοειδή γεωμετρία. Η μελέτηδεν περιορίζεται στο διαξονικό ελλειψοειδές (πεπλατυσμένο σφαιροειδές), που είναιτο κλασικό μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται στη γεωδαισία, αλλάεπεκτείνεται και στο τριαξονικό ελλειψοειδές. Το ουσιαστικό θέμα στην ανάλυσητων παραπάνω προβλημάτων είναι η έκφρασή τους στο κατάλληλο ελλειψοειδέςσύστημα συντεταγμένων.Το ελλειψοειδές σύστημα συντεταγμένων περιγράφεται λεπτομερώς. Για μιααντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ ελλειψοειδών και Καρτεσιανών συντεταγμένων,εισάγονται δύο παραλλαγές των ελλειψοειδών συντεταγμένων. Στις δύο αυτέςπαραλλαγές παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός μεταξύ ελλειψοειδών καιΚαρτεσιανών συντεταγμένων στο τριαξονικό ελλειψοειδές. Επίσης, το στοιχειώδεςμήκος και η εξίσωση Laplace εκφράζονται στις συντεταγμένες αυτές. Για τηνπαραλλαγή των ελλειψοειδών συντεταγμένων που χρησιμοποιείται στουςφορμαλισμούς της παρούσας μελέτης, ο μετασχηματισμός έχει τη μορφήcos β sin β cos λ1/ 22222 2cosβsin λy y u E ,β sin xeEE όπου u 0, –π/2 β +π/2, –π < λ +π είναι οι ελλειψοειδείς συντεταγμένες.Συνεπώς, οι συντεταγμένες επιφάνειες είναι: (i) τριαξονικά ελλειψοειδή (u =σταθερό), (ii) μονόχωνα υπερβολοειδή (β = σταθερό) και (iii) δίχωνα υπερβολοειδή(λ = σταθερό). Γεωμετρικά, οι συντεταγμένες ερμηνεύονται ως ακολούθως: Σε έναΚαρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ένα σημείο P έχει συντεταγμένες (x, y, z).Ορίζουμε ότι ένα τριαξονικό ελλειψοειδές που περιλαμβάνει το σημείο P, έχει ωςαρχή την αρχή του συστήματος, ο πολικός άξονας του 2b ταυτίζεται με τον άξονατων z, ο μεγάλος ισημερινός άξονας 2 x a ταυτίζεται με τον άξονα των x, ο μικρόςισημερινός άξονας 2 y a ταυτίζεται με τον άξονα των y και οι δύο γραμμικέςεκκεντρότητες έχουν σταθερές τιμές x E και y E . Η συντεταγμένη u είναι ο πολικόςημιάξονας του ελλειψοειδούς, β είναι το ελλειψοειδές πλάτος και λ είναι τοελλειψοειδές μήκος. Από τη σχέση οδηγούμαστε στην ερμηνεία ότι το ελλειψοειδές πλάτος β χαρακτηρίζει την κλίσητων ασύμπτωτων της οικογένειας των ομοέστιων κύριων υπερβολών στο επίπεδο x =0. Όμοια, από τη σχέσητο ελλειψοειδές μήκος λ, χαρακτηρίζει την κλίση των ασύμπτωτων της οικογένειαςτων ομοέστιων κύριων υπερβολών στο επίπεδο z = 0. Ο αντίστροφοςμετασχηματισμός έχει τη μορφήu b2 s , β tan-1a sb sy , λ tan-1a sa sxy , (4γ)όπου οι τιμές των 1 s , 2 s , 3 s υπολογίζονται από την επίλυση κατάλληλης κυβικήςεξίσωσης. Τέλος, ο κλασικός μετασχηματισμός μεταξύ ελλειψοειδών καιΚαρτεσιανών συντεταγμένων στο διαξονικό ελλειψοειδές παρουσιάζεται ως μιαεκφυλισμένη περίπτωση.Το γεωδαισιακό πρόβλημα περιλαμβάνει τον προσδιορισμό της γεωδαισιακήςμεταξύ δύο σημείων 0 0 0 P β , λ και 1 1 1 P β , λ σε ένα ελλειψοειδές. Στην παρούσαμελέτη, το γεωδαισιακό πρόβλημα στο τριαξονικό ελλειψοειδές επιλύεται ως έναπρόβλημα συνοριακών τιμών χρησιμοποιώντας το λογισμό μεταβολών. Διακρίνονταιδύο περιπτώσεις όπου η γεωδαισιακή περιγράφεται ως: (i) β = β(λ) και (ii) λ = λ(β).Το συνοριακό πρόβλημα τυποποιείται σύμφωνα με την εξίσωση Euler-Lagrange καιπεριλαμβάνει την επίλυση μίας μη γραμμικής δεύτερης τάξης συνήθη διαφορικήεξίσωση. Στην πρώτη περίπτωση, η εξίσωση έχει τη μορφή2 β'' β' 2 β' 2 β' 0 λ λ β2β β3λ EG EE EG E G E G EG GG , (5)και υπόκεινται στις συνθήκες τύπου Dirichlet 0 0 β β λ , 1 1 β β λ . (6)Ακολούθως, το πρόβλημα ανάγεται σε ένα πρόβλημα αρχικών τιμώνβ β'λdddd λ 3 β β 2 λ λ β2β' 12β' 12β' 12β με συνθήκες Dirichlet και Neumann D: 0 0 β β λ , N: 0 0 β' β' λ Η συνθήκη Neumann προσδιορίζεται με επαναληπτική διαδικασία επιλύοντας, μεαριθμητική ολοκλήρωση, το παρακάτω σύστημα τεσσάρων πρώτης τάξης συνήθωνδιαφορικών εξισώσεων β β'λd λ 3 β β 2 λ λ β2β' 12 β' 12β' 12β' 1 0 β'β'β'βλ 'β'λ p p p p p p p όπου οι συντελεστές στην εξίσωση (9δ) δίνονται από τις σχέσεις βλ λ β33 21β Gp E G E G β22 21β EEE E EGp GG G G βλ β λ11 21β EEE E EGp GG G G p Η τελευταία επανάληψη παράγει και τη λύση του συνοριακού προβλήματος. Από τηλύση προσδιορίζονται, σε κάθε σημείο κατά μήκος της γεωδαισιακής, οιελλειψοειδείς συντεταγμένες και η γωνία α μεταξύ της γραμμής σταθερούελλειψοειδούς μήκους και της γεωδαισιακής, από τη σχέση α cot β Επίσης, προσδιορίζεται η σταθερά c στην εξίσωση του Liouville cos2 β sin β sin α cos λ cos α cEEEExexe και υπολογίζεται, με αριθμητική ολοκλήρωση, η γεωδαισιακή απόσταση μεταξύ δύοσημείων, από τη σχέση s E 2 G Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τη δεύτερη περίπτωση. Για να αποδεχθεί η ισχύςτης μεθόδου δίνονται αριθμητικά παραδείγματα. Το γεωδαισιακό πρόβλημασυνοριακών τιμών και η λύση του στο διαξονικό ελλειψοειδές λαμβάνονται ως μιαεκφυλισμένη περίπτωση. Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιώντας μια ειδικήπερίπτωση της εξίσωσης Euler-Lagrange, η εξίσωση Clairaut επαληθεύεται και ησταθερά του Clairaut προσδιορίζεται με ακρίβεια. Επίσης, οι αριθμητικοί έλεγχοιεπικυρώνονται από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων με τη μέθοδο του Vincenty.Το εξωτερικό δυναμικό βαρύτητας U και η παραγωγός του ( u γ , β γ , λ γ ), πουπαράγονται από ένα ομογενές τριαξονικό ελλειψοειδές, παρουσιάζονται σεελλειψοειδείς συντεταγμένες (u, β, λ) από τις σχέσεις Φ ,β, λ2,β, λ 3 232220 1όπου ux y E EI u d 0 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 σ σ I u d 1 2 2 3 / 2 2 2 1/ 2I u d 2 2 2 1/ 2 2 2 3 / 2 σ σ σ ,I u d 3 2 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 σ σΦ ,β, λ 1 2 2222 2 2 2 2 2 2 2xey e x EEu u E 1/ 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2sin β sin λγ1/ 22 2 2 2 2 2 22 2 2β Uu Eγ1/ 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2λ UuΑρχικά, αναφέρονται κάποιες εκφράσεις που χρησιμοποιούνται για τηναναπαράσταση του εξωτερικού ελκτικού δυναμικού. Ακολούθως, το μαθηματικόπλαίσιο δημιουργείται σύμφωνα με τις ελλειψοειδείς συντεταγμένες. Όπως είναι φανερό από τις Εξισώσεις 14 και 15, το δυναμικό περιλαμβάνει ελλειπτικάολοκληρώματα που υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση. Από το δυναμικόβαρύτητας λαμβάνονται διαδοχικά οι συνιστώσες του διανύσματος της βαρύτητας. Οιπαραπάνω νέες εκφράσεις ισχύουν σε ένα τριαξονικό και διαξονικό ελλειψοειδές.Επίσης, το πεδίο βαρύτητας που παράγεται από ένα ομογενές πεπλατυσμένοσφαιροειδές λαμβάνεται και ως μια εκφυλισμένη περίπτωση. Προκειμένου ναεπικυρωθεί η ισχύς των γενικών εκφράσεων δίνονται αριθμητικά παραδείγματα.Το γραμμικό δεσμευμένο αλτιμετρικό-βαρυτημετρικό πρόβλημα συνοριακώντιμών αναλύεται ως προς την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της λύσης του. Στις μέρεςμας είναι δυνατό να προσδιοριστούν με μεγάλη ακρίβεια, μέσω δορυφορικώντεχνολογιών, σημεία στη φυσική γήινη επιφάνεια. Συνεπώς, το πρόβλημα ανάγεταιστον προσδιορισμό του διαταρακτικού δυναμικού Τ σε ένα μη φραγμένο χωρίο Ω πουαναπαριστά το εξωτερικό της Γης. Προκειμένου να σχηματιστούν ρεαλιστικέςσυνοριακές συνθήκες, επιβάλλεται μια συνθήκη Dirichlet στις θάλασσες ΩS και μιασυνθήκη πλάγιας παραγώγου στη στεριά L Ω . Το μαθηματικό μοντέλο που προκύπτει, έχει την παρακάτω μορφήΔΤ = 0 in Ω, (17α)Τ = S f on S Ω , (17β)(n·T ) + (a· T L ) = – L f on L Ω , (17γ)Τ = O( 1 x) as x + . (17δ)Κατόπιν, χρησιμοποιούνται μαθηματικές μέθοδοι εντός του πλαισίου τηςσυναρτησιακής ανάλυσης για την αντιμετώπιση του υπό μελέτη προβλήματος.Ειδικότερα, χρησιμοποιείται το θεώρημα του Stampacchia στην απόφαση για τηνύπαρξη και την μοναδικότητα της ασθενούς λύσης του προβλήματος σε ένα σταθμικόχώρο Sobolev. Τα αποτελέσματα της μελέτης συνοψίζονται στο ακόλουθο θεώρημα:Θεώρημα. Θεωρούμε Ω ένα μη φραγμένο χωρίο και Ω' = 3 – Ω ένα αστρόμορφοχωρίο ως προς την αφετηρία με σύνορο τύπου C1,1 . Επιπλέον, θεωρούμε a H1, τέτοιο ώστε div (a) L < t, (18)να ισχύει στο L Ω , όπου t είναι μια θετική σταθερά. Τότε, για όλα τα S f 1 2,2 ( )S H και L f 1 2,2 ( )L H υπάρχει μία και μόνο μία ασθενή λύση Τ (1)2 W (Ω) του γραμμικού δεσμευμένου αλτιμετρικού-βαρυτημετρικού προβλήματοςσυνοριακών τιμών. Τέλος, επιβεβαιώνεται ότι η συνθήκη ισχύος του θεωρήματος(Εξίσωση 18) έχει γεωμετρική ερμηνεία. Καταλήγοντας, παρουσιάζεται μια μέθοδος επίλυσης του προβλήματοςενοποίησης των υψομετρικών αναφορών. Πρόκειται ουσιαστικά για ένα πρόβλημαπροσδιορισμού των διαφορών δυναμικού μεταξύ των διαφόρων υψομετρικώναναφορών. Οι τοπικές υψομετρικές αναφορές διαφέρουν κυρίως λόγω τωνδιαφορετικών τρόπων ορισμού τους, των μεθόδων υλοποίησης και του γεγονότος ότιστηρίζονται σε τοπικά δεδομένα. Οι κύριες προσεγγίσεις προσδιορισμού διαφορώνδυναμικού περιγράφονται και συγκρίνονται, λαμβάνοντας υπόψη τις τρέχουσεςεξελίξεις της θεωρίας των γεωδαιτικών προβλημάτων συνοριακών τιμών. Αυτό μαςεπιτρέπει να επιλέξουμε το δεσμευμένο μεικτό πρόβλημα συνοριακών τιμών ως τοπιο κατάλληλο για την εκτίμηση του σχεδόν γεωειδούς, που είναι ανεξάρτητο απόκάθε τοπική υψομετρική αναφορά και μπορεί να θεωρηθεί ως παγκόσμια υψομετρικήαναφορά. Η βασική μέθοδος ενοποίησης των αναφορών στηρίζεται στη σύγκρισητων διαφορών δυναμικού καθεμιάς τοπικής υψομετρικής αναφοράς με τηναποκαλούμενη παγκόσμια υψομετρική αναφορά, δηλαδή το σχεδόν γεωειδές.