Study of scattering from aperiodic set-ups with the use of local parity

Abstract

We study the breaking of global discrete symmetries -specifically inversion and translation- in one-dimensional scattering set-ups. We focus on the case where the broken global symmetry is retained locally, in arbitrary domains of finite spatial extent and we find a class of space invariant, non-local currents, which are remnants of the broken global symmetry. These currents provide a mapping of the wave function from an arbitrary spatial domain, considered as source, to a target domain. The two domains are linked through the corresponding symmetry transform. The derived mapping constitutes a generalization of the Bloch and parity theorems for arbitrary finite systems which can be aperiodic or non-inversion symmetric. The obtained invariant currents are identified as remnants of the respective global symmetry, providing a systematic approach to the breaking of discrete global symmetries. The proposed method addresses successfully any combination of translation and inversion symmetry and can be applied to the study of wave propagation in aperiodic and quasi-periodic media. The fact that it lies on very general symmetry arguments, combined with the Helmholtz-Schrödinger isomorphism, provide a unified framework which can be applied to the quantum optical and acoustic systems, notwithstanding their essential differences. Focusing on the parity transformation when applied to finite mirror symmetric domains, we introduce the concept of local parity (LP) and the corresponding operator. We consider non-symmetric, aperiodic scattering set-ups which can be completely decomposed in space domains where the LP symmetry is satisfied and reveal its impact on their transport properties and particularly on perfect transmission resonances (PTRs). With emphasis on the PTR manifestation and by employing the aforementioned invariant currents, we propose a classification of PTRs, based on their geometric representation on the complex plane. This classification lifts certain overlaps of alternative approaches in the existing literature and provides an unambiguous distinction between resonances based on fundamental, local symmetry principles. Finally we develop a construction principle which utilizes the simultaneous existence of different LP symmetry scales in the same set-up for the design of aperiodic wave mechanical devices with prescribed PTR properties. The implementation of this construction principle on quantum, photonic and acoustic systems, reveals its applicability in diverse systems.

Μελετάται η διαδικασία θραύσης διακριτών συμμετριών -συγκεκριμένα των συμμετριών μετάθεσης και αντιστροφής- κατά τη διαδικασία σκέδασης από μονοδιάστατα συστήματα. Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην περίπτωση όπου η σπασμένη καθολική συμμετρία εξακολουθεί να ισχύει τοπικά, σε χωρία πεπερασμένης έκτασης, εντός των οποίων διαπιστώνεται η ύπαρξη μιας κλάσης μη-τοπικών, χωρικά αναλλοίωτων ρευμάτων. Τα ρεύματα αυτά επιτρέπουν την απεικόνιση της κυματοσυνάρτησης από μία αυθαίρετη υποπεριοχή-πηγή σε μία άλλη υποπεριοχή-στόχο, όταν αυτές συνδέονται με μία σχέση συμμετρίας μετάθεσης ή αντιστροφής. Η προκύπτουσα σχέση απεικόνισης της κυματοσυνάρτησης από τη μία υποπεριοχή στην άλλη αποτελεί μία γενίκευση των θεωρημάτων Bloch και ομοτιμίας, για πεπερασμένα, εν γένει απεριοδικά και κατοπτρικώς μη-συμμετρικά συστήματα τα οποία διατηρούν τις εν λόγω συμμετρίες σε τοπικό επίπεδο. Τα παραπάνω τοπικά διατηρούμενα ρεύματα μπορούν να θεωρηθούν ως κατάλοιπα της αντίστοιχης καθολικής συμμετρίας, προσφέροντας ένα συστηματικό τρόπο μελέτης της διαδικασίας θραύσης διακριτών, καθολικών συμμετριών. Η προτεινόμενη μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε συνδυασμό συμμετριών μετάθεσης και αντιστροφής και ενδείκνυται για τη μελέτη απεριοδικών και οιονεί-περιοδικών διατάξεων. Επιπλέον, το γεγονός ότι στηρίζεται σε πολύ γενικές αρχές συμμετρίας σε συνδυασμό με τον ισομορφισμό των εξισώσεων Helmholtz και Schrodinger, οδηγεί σε ένα γενικό πλαίσιο για την αντιμετώπιση περιπτώσεων κβαντικής και κλασικής σκέδασης. Στην συνέχεια, επικεντρωνόμαστε στη μελέτη της συμμετρίας αντιστροφής όταν αυτή ισχύει σε τοπικά, σε πεπερασμένα χωρία του συνολικού συστήματος. Εισάγοντας την έννοια της τοπικής ομοτιμίας και του αντίστοιχου τελεστή, θεωρούμε απεριοδικές και οιονεί-περιοδικές μονοδιάστατες διατάξεις οι οποίες μπορούν να αναλυθούν πλήρως σε υποπεριοχές που ισχύει η τοπική ομοτιμία. Αποδεικνύεται ότι η επίδραση της συγκεκριμένης τοπικής συμμετρίας στις διαδικασίες σκέδασης είναι ιδιαίτερα σημαντική, κυρίως όσον αφορά τους συντονισμούς πλήρους διέλευσης (ΣΠΔ). Με έμφαση στην εμφάνιση ΣΠΔ και χρησιμοποιώντας τα προαναφερθέντα μη-τοπικά ρεύματα, προτείνεται μία κατηγοριοποίηση των ΣΠΔ, βασισμένη στη γεωμετρική ερμηνεία τους στο μιγαδικό επίπεδο. Η προτεινόμενη κατηγοριοποίηση αίρει τις επικαλύψεις που προέκυπταν από αντίστοιχες προσεγγίσεις στην υπάρχουσα βιβλιογραφία, προσφέροντας έναν ξεκάθαρο διαχωρισμό ανάμεσα στους ΣΠΔ, βασισμένο σε βασικές αρχές (τοπικών) συμμετριών. Τέλος, αναπτύσσεται μία “κατασκευαστική αρχή” η οποία αξιοποιεί τις πολλαπλές κλίμακες συμμετρίας που μπορεί να υπάρχουν στην ίδια διάταξη, για το σχεδιασμό διατάξεων κυματικής σκέδασης με συγκεκριμένες ιδιότητες ΣΠΔ. Η εφαρμογή της κατασκευαστικής αρχής σε κβαντικά, φωτονικά και ακουστικά συστήματα υποδεικνύει την ευρεία εφαρμοσιμότητά της.