ΜΕΛΕΤΗ ΜΕΡΙΚΩΝ ΕΡΓΟΔΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΕΜΦΑΝΙΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΜΕΤΡΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Abstract

THE AIM OF THIS PH.D. THESIS IS TO CONTRIBUTE TO THE THEORY OF STOCHASTIC PROCESSES, FUNCTIONAL ANALYSIS AND NUMBER THEORY. THE WHOLE WORK CONTAINS THREE CHAPTERS. IN CHAPTER I WE STUDY THE STOCHASTIC PROPERTIES OF THE SEQUENCE OF DIGITS IN THE ALTERNATING SERIES EXPANSIONS FOR REAL NUMBERS. THESE REPRESENTATIONS ARISE FROM A GENERAL ALGORITHM OF ALTERNATING SERIES EXPANSIONS OF REAL NUMBERS INTRODUCED BY A. AND J. KNOPFMACHER (1989). IN CHAPTER II WE INVESTIGATEA GENERALIZED GAUSS-KUZMIN TYPE PROBLEM, WHICH COMPRISES THE CLASSIC GAUSS'SPROBLEM AS A PARTICULAR CASE. OUR APPROACH TO A GENERALIZATION OF GAUSS'S PROBLEM IN TERMS OF OPERATORS IS BASED ON THE THEORY OF DEPENDENCE WITH COMPLETE CONNECTIONS USING A GENERALIZED GAUSS-KUZMIN OPERATOR INTRODUCED BY W. FLUCH (1987). FINALLY, IN CHAPTER III, WE ESTABLISH A CLASS OF PROBABILITY MEASURES UNDER WHICH RANDOM VARIABLES APPEARING IN G-CONTINUED FRACTION EXPANSIONS ARE IDENTICALLY DISTRIBUTED. WE CHOOSE THIS CLASS OF CONTINUED FRACTION EXPANSIONS BECAUSE IT CORRESPONDS TO ONE OF THE MOST COMPLICATED ALGORITHMS OF EXPANSIONS OF REAL NUMBERS (GROTESQUE ALGORITHMS) FOR WHICH THE CORRESPONDING FINITE-DIMENSIONAL DISTRIBUTIONS OF THE DIGITS ARE COMPLICATED UNDER THE CANONICAL PROBABILITY SPACES. (ABSTRACT TRUNCATED)

ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΣΥΜΒΑΛΛΕΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ. Η ΟΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΩΡΙΖΕΤΑΙ ΣΕ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΑ. ΣΤΟΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΤΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΩΝ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΕ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ, ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΑΠΟ ΕΝΑ ΓΕΝΙΚΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Α. ΚΑΙ J. KNOPFMACHER (1989). ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΔΙΝΟΥΜΕ ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ GAUSS-KUZMIN, Η ΟΠΟΙΑ ΕΜΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΚΛΑΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ GAUSS ΣΑΝ ΜΙΑ ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ. Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΒΑΣΙΖΕΤΑΙΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΞΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΤΑΣ ΧΡΗΣΗ ΕΝΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΥΤΕΛΕΣΤΗ GAUSS-KUZMIN, ΟΠΩΣ ΑΥΤΟΣ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΑΠΟ ΤΟΝ W. FLUCH (1987). ΤΕΛΟΣ,ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΖΟΥΜΕ ΚΑΤΑΛΛΗΛΑ ΜΕΤΡΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΟΠΟΙΑΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ, ΠΟΥ ΕΜΦΑΝΙΖΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ ΣΕ G-ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ, ΝΑΕΙΝΑΙ ΙΣΟΝΟΜΕΣ. Ο ΛΟΓΟΣ ΠΟΥ ΕΠΙΛΕΞΑΜΕ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΚΛΑΣΗ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΩΝ ΕΙΝΑΙ, ΟΤΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΙ Σ'ΕΝΑΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΕΡΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ (GROTESQUE ALGORITHMS) ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ, ΓΙΑ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ ΟΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΥΣ ΕΚΦΡΑΖΟΝΤΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. (ΠΕΡΙΚΟΠΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗΣ)