Μελέτη των αλγεβρικών ιδιοτήτων των κλασικών και κβαντικών υπερολοκληρώσιμων συστημάτων

Abstract

The aim of the present thesis was the study of the algebraic properties of integrable and superintegrable systems defined in two and three dimensional manifolds appearing in classical and quantum mechanics. Is presented, at first, all two dimensional manifolds that allow integrability and superintegrability in Liouville sence whereas the integrals of motion are polynomial expressions of the second order in momenta. In any case of each system, analytic expressions for the integrals of motion are given as well as the corresponding algebras. A particular class of three dimensional conformally flat manifolds is also studied. The classical and quantum algebra of the corresponding superintegrable systems is produced and an algebraic method for the computation of the energy eigenvalues is proposed.

Σκοπός της διατριβής ήταν η μελέτη των αλγεβρικών ιδιοτήτων των ολοκληρώσιμων και υπερολοκληρώσιμων συστημάτων της κλασικής και κβαντικής μηχανικής σε πολλαπλότητες διάστασης δύο και τρία. Στην εργασία, αρχικά, παρουσιάζονται όλες οι δισδιάστατες πολλαπλότητες που επιτρέπουν ολοκληρωσιμότητα και υπερολοκληρωσιμότητα όταν τα ολοκληρώματα είναι πολυωνυμικές εκφράσεις δευτέρου βαθμού ως προς τις ορμές. Σε κάθε περίπτωση δίνονται αναλυτικά οι εκφράσεις των ολοκληρωμάτων όπως και των αντίστοιχων αλγεβρών που σχηματίζονται. Ακόμη, σε μια συγκεκριμένη κατηγορία τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων που είναι σύμμορφα επίπεδες δίνεται η μορφή της άλγεβρας των αντίστοιχων υπερολοκληρώσιμων συστημάτων και προτείνεται ένας αλγεβρικός τρόπος υπολογισμού των ιδιοτιμών στην κβαντική περίπτωση. Ως εφαρμογή δίνεται το δυναμικό του γενικευμένου αρμονικού ταλαντωτή και του γενικευμένου Κουλόμπ.