Συγκλίσεις ακολουθιών μετρήσιμων πραγματικών συναρτήσεων

Abstract

In this thesis we study, in general lines, the classical kinds of convergences of sequences of measurable functions (almost everywhere, in measure, almost uniform), and it is divided in 4 chapters. Ch. 1: Conditions on sequences of mes. fun. and on the space are introduced, under which one kind of convergence implies another one and relevant applications are given. Ch. 2: We characterize convergence in measure with elements of Co and we prove the existence of a minimal such element. Ch. 3: We introduce for each p, q>0, a new notion of convergence stronger than convergence in measure. As a result we obtain a classification of convergences in measure and we define a metric on the space of sequences of measurable functions under which it turns to a complete metric space. Also, we define density functions and corresponding density topologies on ℝ for each q>0. Ch. 4: We study statistical convergences and we improve the relevant Steinhauss theorem.

Η διδακτορική αυτή διατριβή μελετάει σε γενικές γραμμές τα κλασικά είδη συγκλίσεων ακολουθιών μετρησίμων συναρτήσεων (κατά σημείο σ π, κατά μέτρο, σχεδόν ομοιόμορφη) και αποτελείται από 4 κεφάλαια. Κεφ. 1. Εισάγονται συνθήκες που αφορούν τις ακολουθίες μετρησίμων συναρτήσεων ή τον χώρο, κάτω από τις οποίες ένα είδος σύγκλισης συνεπάγεται ένα άλλο είδος σύγκλισης και εφαρμογές των αποτελεσμάτων αυτών. Κεφ. 2. Χαρακτηρίζουμε τις κατά μέτρο συγκλίσεις με στοιχεία του Co και αποδεικνύουμε την ύπαρξη ενός minimal τέτοιου στοιχείου. Κεφ. 3. Για κάθε p, q>0 ορίζουμε μια νέα έννοια σύγκλισης ισχυρότερη της κατά μέτρο και επιτυγχάνουμε μια ταξινόμηση των συγκλίσεων κατά μέτρο. Σαν αποτέλεσμα ορίζουμε μία μετρική στον χώρο των ακολουθιών μετρησίμων συναρτήσεων που συγκλίνουν κατά μέτρο, με την οποία γίνεται πλήρης μετρικός χώρος, καθώς και μία συνάρτηση πυκνότητας και αντίστοιχες τοπολογίες πυκνότητας στο ℝ για κάθε q>0. Κεφ. 4. Μελετάμε τις στατικές συγκλίσεις και βελτιώνουμε το αντίστοιχο θεώρημα Steinhauss.