Το πρόβλημα Fermat-Torricelli και ένα αντίστροφο πρόβλημα στο Κ-επίπεδο και σε κλειστά πολύεδρα του R^3

Abstract

The weighted Fermat-Torricelli for n non-collinear points in R^3 states the following: Given n non-collinear points in R^3 find a point (b.FT point) which minimizes the sum of the distances multiplied by a positive number which corresponds to a given point (weight). The inverse Fermat-Torricelli problem for n non-collinear points with weights in R^3 (inv.FT) states the following: Given a point that belongs to the interior of a closed polyhedron which is formed between n given non-collinear points in R^3, does there exist a unique set of weights which corresponds to each one of the n points such that this point solves the weighted Fermat-Torricelli problem for this particular set of weights? In the present thesis, we prove a generalization of the isogonal property of the b.FT point for a geodesic triangle on the K-plane (Sphere, Hyperbolic plane, Euclidean plane). We proceed by giving a sufficient condition to locate the b.FT point at the interior of tetrahedra and pentahedra (pyramids) in R^3. The second group of results contains a positive answer on the inv.FT problem for three points that do not belong to a geodesic arc on the K-plane and on the inv.FT problem for four non collinear points and non coplanar in R^3. The negative answer with respect to the inv.FT problem for four non-collinear points in R^2 lead us to the relations of the dependence between the weights that we call the equations of dynamic plasticity for quadrilaterals. Similarly, by giving a negative answer with respect to the inv.FT problem for five points which do not belong in the same plane in R^3, we derive the equations of dynamic plasticity of closed hexahedra and we prove a plasticity principle of closed hexahedra in R^3, which states that: Considering five prescribed rays which meet at the weighted Fermat-Torricelli point, such that their endpoints form a closed hexahedron, a decrease on the weights that correspond to the first, third and fourth ray, causes an increase to the weights that correspond to the second and fifth ray, where the fourth endpoint is upper from the plane which is formed from the first ray and second ray and the third and fifth endpoint is under the plane which is formed from the first ray and second ray. Finally, a significant result of this thesis deals with the solution of the generalized Gauss problem for convex quadrilaterals on the K-plane in which by setting two points at the interior of the convex quadrilateral with equal weights we prove that these points are weighted Fermat-Torricelli points with specific weights, that generalizes the b.FT problem for quadrilaterals on the K-plane

Το πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά σημεία με βαρύτητες στον R^3 (b.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος n μη συγγραμμικών σημείων στον R^3 να βρεθεί ένα σημείο το οποίο ελαχιστοποιεί το άθροισμα των αποστάσεων με θετικές βαρύτητες του σημείου αυτού από τα n δοσμένα σημεία. Το αντίστροφο πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία με βαρύτητες στον R^3 (αντ.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος ενός σημείου που ανήκει στο εσωτερικό ενός κλειστού πολυέδρου που σχηματίζεται από n δοσμένα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, υπάρχει μοναδικά προσδιορίσιμο σύνολο τιμών για τις βαρύτητες που αντιστοιχούν σε κάθε ένα από τα n δοσμένα σημεία, ώστε το σημείο αυτό να επιλύει για τις τιμές αυτές των βαρυτήτων το πρόβλημα b.FT στον R^3; Στην παρούσα διατριβή, αποδεικνύουμε μία γενίκευση της ισογώνιας ιδιότητας του σημείου b.FT για ένα γεωδαισιακό τρίγωνο σε ένα Κ-επίπεδο (Σφαίρα, Υπερβολικό επίπεδο, Ευκλείδειο επίπεδο). Στη συνέχεια, δίνουμε μία αναγκαία συνθήκη για να είναι το σημείο b.FT εσωτερικό σημείο ενός τετραέδρου και ενός πενταέδρου (πυραμίδες) στον R^3. Η δεύτερη ομάδα αποτελεσμάτων της διατριβής περιλαμβάνει τη θετική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για τρία μη γεωδαισιακά σημεία στο Κ-επίπεδο και στο αντ.FT πρόβλημα για τέσσερα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3. Η αρνητική απάντηση στο αντ.FT για τέσσερα μη συγγραμμικά σημεία στον R^2 θα μας οδηγήσει σε σχέσεις εξάρτησης των βαρυτήτων που ονομάζουμε εξισώσεις της δυναμικής πλαστικότητας των τετραπλεύρων. Ομοίως, δίνοντας αρνητική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για πέντε μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, παίρνουμε τις εξισώσεις δυναμικής πλαστικότητας , διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε την αρχή της πλαστικότητας των κλειστών εξαέδρων στον R^3, που αναφέρει ότι: Έστω ότι πέντε προδιαγεγραμμένα ευθύγραμμα τμήματα συναντώνται στο σημείο b.FT, των οποίων τα άκρα σχηματίζουν ένα κλειστό εξάεδρο. Επιλέγουμε ένα σημείο σε κάθε ημιευθεία που ορίζει το προδιαγεγραμμένο ευθύγραμμο τμήμα, τέτοιο ώστε το τέταρτο σημείο να βρίσκεται πάνω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία και το τρίτο και πέμπτο σημείο να βρίσκονται κάτω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία. Τότε η μείωση της τιμής της βαρύτητας που αντιστοιχεί στην πρώτη, τρίτη και τέταρτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία προκαλεί αύξηση στις βαρύτητες που αντιστοιχούν στη δεύτερη και πέμπτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία.Τέλος, ένα σημαντικό αποτέλεσμα της διατριβής αφορά την επίλυση του γενικευμένου προβλήματος του Gauss για κυρτά τετράπλευρα στο Κ-επίπεδο, θέτοντας δύο σημεία στο εσωτερικό του κυρτού τετραπλεύρου με ίσες βαρύτητες, τα οποία στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι είναι δύο σημεία b.FT με συγκεκριμμένες βαρύτητες, αποτέλεσμα το οποίο γενικεύει το πρόβλημα b.FT για τετράπλευρα στο Κ-επίπεδo.