Ρητές καμπύλες επί αλγεβρικών σωμάτων αριθμών και διοφαντικές εξισώσεις

Abstract

The present thesis is divided in three parts. In the first part we present a way of solving norm form equations. The Pell equation over algebraic number fields is a special case of these norm form equations. In the second part we complete the classical Siegel theorem by proving a theorem that gives sufficient and necessary conditions so that rational curves with one or two discrete valuations at infinity have infinite integral points. Finally, in the third part we give practical algorithms in order to compute in any case the integral points in curves of genus 0.

Η διατριβή μπορεί να χωριστεί σε τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζουμε έναν τρόπο επίλυσης νορμικών εξισώσεων, μερική περίπτωση των οποίων αποτελεί η εξίσωση Pell πάνω από αλγεβρικά σώματα αριθμών. Στο δεύτερο μέρος συμπληρώνουμε το κλασικό θεώρημα του Siegel αποδεικνύοντας ένα θεώρημα με ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε μια ρητή καμπύλη με έναν ή δύο διακριτούς δακτυλίους εκτίμησης στο άπειρο να έχει άπειρα ακέραια σημεία. Τέλος, στο τρίτο μέρος δίνουμε πρακτικούς αλγόριθμους για τον υπολογισμό σε κάθε περίπτωση των ακεραίων σημείων σε καμπύλες γένους 0.