Σταθμισμένοι τελεστές σύνθεσης και ημιομάδες σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων

Abstract

Motivation for the present doctoral thesis was the connection of Brennan’s Conjecture with weighted composition operators. This dissertation can be viewed as a preparation for further study of weighted composition operators that are involved with Brennan’s Conjecture. The first chapter is introductory. The spaces and functions that are needed in the following chapters are defined and some main properties are given. In the second chapter weighted composition operators on Hardy spaces and weighted Bergman spaces are studied. It is known that boundedness and compactness of these operators on the above spaces has been characterized through Carleson measures. But this characterization is difficult to be examined in concrete examples. In this chapter sufficient analytical conditions are given so as these operators to be bounded or compact on the above spaces. In the third chapter the semigroup of weighted composition operators with the weight function to be the complex derivative of the symbol of the corresponding unweighted semigroup of composition operators is studied on Hardy and Bergman spaces. Sufficient conditions are given so as the semigroup to be strongly continuous and the infinitesimal generator is described and given explicitly. In the fourth chapter it is shown that when the above semigroup is well defined on BMOA and VMOA spaces, then the maximal closed subspace V of BMOA in which the semigroup is strongly continuous contains always the subspace VMOA. Finally sufficient conditions are given so as the subspace V to be exactly the VMOA.

Έναυσμα για την παρούσα μελέτη ήταν η σύνδεση της Eικασίας Brennan με σταθμισμένους τελεστές σύνθεσης. Η παρούσα εργασία μπορεί να θεωρηθεί ως μια προπαρασκευή για περαιτέρω μελέτη σταθμισμένων τελεστών σύνθεσης που σχετίζονται με την Eικασία Brennan. Tο πρώτο κεφάλαιο είναι εισαγωγικό. Ορίζονται οι χώροι και οι συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στα επόμενα κεφάλαια και παρατίθενται κάποιες βασικές ιδιότητες. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε σταθμισμένους τελεστές σύνθεσης στους χώρους Hardy και στους σταθμισμένους χώρους Bergman. Είναι γνωστό ότι η φραγμότητα και η συμπάγεια των εν λόγω τελεστών στους παραπάνω χώρους έχει χαρακτηριστεί μέσω των μέτρων Carleson. Αυτός ο χαρακτηρισμός όμως είναι δύσκολο να ελεγχθεί σε συγκεκριμένα παραδείγματα. Σε αυτό το κεφάλαιο δίνουμε ικανές αναλυτικές συνθήκες ώστε οι παραπάνω τελεστές να είναι φραγμένοι ή συμπαγείς στους προαναφερθέντες χώρους. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε σε χώρους Hardy και Bergman την ημιομάδα σταθμισμένων τελεστών σύνθεσης με συνάρτηση στάθμης την μιγαδική παράγωγο του συμβόλου της αντίστοιχης μη σταθμισμένης ημιομάδας τελεστών σύνθεσης. Δίνουμε ικανές συνθήκες ώστε αυτή η ημιομάδα να είναι ισχυρά συνεχής και προσδιορίζουμε την μορφή του απειροστικού γεννήτορα. Στο τέταρτο κεφάλαιο δείχνουμε ότι όταν η παραπάνω ημιομάδα είναι καλά ορισμένη στους χώρους ΒΜΟΑ και VMOA, τότε ο μέγιστος κλειστός υποχώρος V του BMOA στον οποίο η ημιομάδα είναι ισχυρά συνεχής περιέχει πάντα τον υποχώρο VMOA. Τέλος δίνουμε ικανές συνθήκες ώστε ο V να είναι ακριβώς ο VMOA.