Συνδυαστική και τοπολογία της απολύτου διάταξης σε πεπερασμένες ομάδες Coxeter

Abstract

Coxeter groups are fundamental combinatorial structures which appear in several areas of mathematics. Partial orders on Coxeter groups often provide an important tool for understanding the questions of interest. The purpose of this thesis is to study a new partial order on finite groups Coxeter, called the absolute order. The absolute order on a finite Coxeter group W is denoted by Abs(W) and is defined as the partial order on W whose Hasse diagram is obtained from the Caylay graph of W with respect to its set of reflections, by directing its edges away from the identity. We are interested in the combinatorics and topology of Abs(W). These have been studied extensively for the interval [e,c]=NC(W,c) of Abs(W), known as the poset of noncrossing partitions associated to W, where c denotes a Coxeter element. In this thesis, by use of a new notion of constructibility for posets, we prove that Abs(W) is Cohen-Macaulay in the case of the symmetric group Sn, and show that this is not true in case of the group Dn. Furthermore, we prove that the order ideal of Abs(Bn) generated by the Coxeter elements of the hyperoctahedral group Bn is Cohen-Macaulay and that the same holds for all closed intervals of Abs(Bn). Finally, we give characterizations for the closed intervals in Abs(Bn) and Abs(Dn) which are lattices and compute some of their important enumerative invariants.

Οι ομάδες Coxeter είναι θεμελειώδεις συνδυαστικές δομές οι οποίες εμφανίζονται σε πολλές περιοχές των μαθηματικών. Οι μερικές διατάξεις αποτελούν ένα σημαντικό εργαλείο με το οποίο μπορούμε να μελετήσουμε τις ομάδες αυτές. Σκοπός της διατριβής είναι η μελέτη μιας νέας μερικής διάταξης στις πεπερασμένες ομάδες Coxeter, της απόλυτης διάταξης. Το ενδιαφέρον για τη διάταξη αυτή προέκυψε από ερευνητές της γεωμετρικής θεωρίας ομάδων. Η απόλυτη διάταξη Abs(W) σε μια πεπερασμένη ομάδα Coxeter W μπορεί να περιγραφεί ως η μερική διάταξη στην W το διάγραμμα Hasse της οποίας προκύπτει κατευθύνοντας τις ακμές του γραφήματος Caylay της W, ως προς το σύνολο των ανακλάσεών της, από το ουδέτερο προς τα έξω. Εμείς ενδιαφερόμαστε για τη συνδυαστική και τοπολογία της διάταξης Abs(W). Αυτές έχουν μελετηθεί διεξοδικά για το διάστημα [e,c]=NC(W,c) της Abs(W), γνωστό ως σύνδεσμος των μη διασταυρούμενων διαμερίσεων που σχετίζεται με την W, όπου το c συμβολίζει ένα στοιχείο Coxeter. Στη διατριβή αυτή, χρησιμοποιώντας μια νέα έννοια κατασκευασιμότητας για μερικές διατάξεις, αποδεικνύουμε ότι η διάταξη Abs(W) είναι Cohen-Macaulay στην περίπτωση της συμμετρικής ομάδας Sn, ενώ δείχνουμε ότι αυτό δεν ισχύει για την ομάδα Dn. Επιπλέον δείχνουμε ότι το διατακτικό ιδεώδες της Abs(Bn) που παράγεται από τα στοιχεία Coxeter της υπεροκταεδρικής ομάδας Bn είναι Cohen-Macaulay και ότι το ίδιο ισχύει για όλα τα κλειστά διαστήματα της Abs(Bn). Τέλος δίνουμε χαρακτηρισμούς για τα διαστήματα των διατάξεων Abs(Bn) και Abs(Dn) που είναι σύνδεσμοι και υπολογίζουμε μερικές από τις βασικές απαριθμητικές τους αναλλοίωτες.