ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΣ ΔΙΑΤΑΡΑΓΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Abstract

ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΜΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Y'(T)= A(T)Y(T), TΕR (I) ΜΕ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΑ ΔΙΑΤΑΡΑΓΜΕΝΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ Χ'(T)= A(T)X(T)+F(T,T(T,X)), TΕR (ΙΙ). ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΜΙΑ ΑΠΟ ΤΙΣ (Ι) ΚΑΙ (ΙΙ) ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΤΩΝ Β-ΦΡΑΓΜΕΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ, ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΦΡΑΓΜΕΝΟΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΤΑΛΛΗΛΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Β. ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΝΟΣ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΣΜΟΥ Η ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ. ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΕΤΟΙΟΥ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΣΜΟΥ, ΥΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ Β-ΦΡΑΓΜΕΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ Ι ΚΑΙ ΙΙ.

WE CONSIDER A LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION Y'(T)=A(T)Y(T), TΕR (I) WITH A CORRESPONDING FUNCTIONALLY PERTURBED NONLINEAR EQUATION X'(T)=A(T)X(T)+ F(T,T(T,X)), TΕR (II). FOR EACH EQUATION (I) AND (II) WE CONSIDER THE SETS OF B-BOUNDEDSOLUTIONS, I.E. THE SETS OF THOSE SOLUTIONS, WHICH ARE BOUNDED AFTER APPLICATION WITH AN APPROPRIATE MATRIX B. WE PROVE THAT THERE EXISTS A HOMEOMORPHISMH BETWEEN THESE SETS; FURTHERMORE USING SUCH A HOMEOMORPHISM, WE ESTABLISH THE ASYMPTOTIC EQUIVALENCE BETWEEN THE B-BOUNDED SOLUTIONS OF (I) AND (II).