Συμβολή στη μελέτη γραμμικών μετασχηματισμών με έμφαση στη μετρική Minkowski και εφαρμογές στη φυσική

Abstract

Relativity Theory is the base for the development of Quantum Physics. These parts of Physics are also applied to other sections of Science, such as Chemistry, Medicine, etc. So, a significant change on Relativity will lead to changes on the other scientific sections. Special Relativity, as is applied until now, cancels the transitive property of parallelism, when three observers are related, because the (Real) Lorentz Boost is not closed transformation. In this doctoral thesis, considering the Linear Spacetime Transformation of Boost of Inertial frames, we demand the invariance of the Lorentz Spacetime distance (S^2 ). In addition, we assume that the transformation is closed, so there is no need for axes rotation. The solution is a matrix containing complex numbers. As a result, space becomes complex, but time can remain real. Thus, the (Real) Minkowski spacetime (Μ^4) is extended to the Complex Minkowski spacetime (ℂΜ^4) and we have the Closed Complex Lorentz Boost (CCLB): X΄_C = Λ_ΒΟ΄(Ο) X . Moreover, the transitive property of parallelism, which is equivalent to the 5thEuclidean Postulate, is also valid for moving straight lines (axes) in the Complex Minkowski spacetime (ℂΜ^4). Furthermore, the closed complex boost CCLB with specific orientation in the spacetime ℂΜ^4, emerges the corresponding Group of Closed Complex Lorentz Boosts with Specific Orientation) (GrCCLB//) that is Subgroup of the Complex Lorentz group L_C(4) ≡ L(6, ℂ) which results from the combination of CCLB and Complex Spatial Rotation. If the CCLB is combined both with Complex Spatial Rotation and Spacetime Transition in ℂΜ^4, then we have the General Complex Lorentz Transformation (GCLT) which implies the Complex Poincaré group P(10, ℂ).Also, we prove that the Complex Minkowski spacetime (ℂΜ^4) substantially, does not differ from the Complex Minkowski spacetime (ℂΕ^4), because the difference of their metrics, comes from the difference of the zero dimension’s unitary vectors in the bases of two spaces. Thus, we found also the corresponding Closed Complex Euclidean Boost (CCEB) in the Complex Euclidean spacetime (ℂΕ^4).Assuming that there exists (unmoved) Inertial Frame (Οx0x1x2x3), where the spacetime is real, then the physical quantities (such as velocity, energy, etc) are real, too. Since the closed complex boosts CCLB and CCEB are isometric transformations, both the Lorentz norm and Euclidean norm are real in any Inertial Frame Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3. Moreover, it results that in any moving (wrt Οx0x1x2x3) Inertial Frame Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3, the space is complex, while the time remains real. Generally, for moving Inertial Frames, the four-vectors’ zeroth Cartesian Coordinate (CC) (such as energy) is real, while the spatial Cartesian Coordinates (CCs) (such as those of relativistic momentum) are complex with their real norm. We also prove that speed of light is invariant, even if the Cartesian Coordinates (CCs) of the velocity are complex. Furthermore, the real norms of complex vectors according to the Closed Complex Lorentz Boost (CCLB) in the Complex Minkowski Spacetime (ℂΜ^4), lead to the (Open Real) Lorentz boost in the (Real) Minkowski Spacetime (Μ^4). Therefore, we can assume one from the following concepts:(i) The (open real) Lorentz Boost always correlates any two Inertial Frames (IFs), when the corresponding spatial axes are parallel. Since Lorentz Boost is not closed linear transformation, this concept is incompatible with the 5th Euclidean postulate, because it is equivalent with the transitive attribute of parallelism in the Ε^3. Thus, the parallelism of two moving straight lines / axes, ceases to be absolute and it becomes relative. So, we have Hyperbolic Geometry in M^4, according to the majority of the researchers of Relativity Theory. This concept also leads to the closed Lorentz transformation that is combination of the (open real) Lorentz Boost with Euclidean Rotation, the Lorentz Group and the classical Thomas Rotation [10] (pp. 307-308), [5](pp. 29-36), [14].(ii) The (open real) Lorentz Boost correlates only the Inertial Frame Οxyz (IFO) with any Inertial Frame Ο´x´y´z´ which has parallel spatial axes with the corresponding ones of Οxyz. This concept is compatible with the 5t h Euclidean postulate in the Complex Euclidean χώρο (ℂΕ^3). Thus, the parallelism of two moving straight lines / axes, is absolute in ℂΕ^3 where we have the Complex Euclidean Geometry, but it becomes relative in V^3 where we have the Real Hyperbolic Geometry. Also, this concept leads to a new correlation (transformation) of two Inertial Frames that is called Real Lorentz Transformation of Indirect Parallelism (RLTIP) in the Μ^4. This name was adopted because in the space V^3, the Inertial Frames Ο´x´y´z´ and Ο´´x´´y´´z´´ have parallel their corresponding axes according to the (unmoved) Inertial Frame Οxyz, while their corresponding axes are not parallel when it is attempted their direct correlation: Χ΄΄ = Λ_LΟ΄΄(Ο) Λ_LΟ(Ο΄) Χ΄, where Λ_L is the Lorentz Matrix. On the contrary, the parallelism of the corresponding axes of Ο´x´y´z´ and Ο´´x´´y´´z´´ is maintained in the ℂΕ^3. Also, the Real Lorentz Transformation of Indirect Parallelism (RLTIP) in the Μ^4 implies the corresponding Group of Real Lorentz Transformations of Indirect Parallelism (GrRLTIP) which is Subgroup of the (Real) Poincaré Group P(10, R).We applied this concept of the Real Lorentz Transformations of Indirect Parallelism (RLTIP) in the Μ^4, finding relations between physical quantities, that are exactly the same as these extracted by the classical Einsteinian Special Relativity (ESR), when two observers are related (i.e. the Relativistic Doppler shift is the same). But the results are different, when more than two observers are related. Next, it is shown that the transformation which converts the physical quantities’ complex Cartesian Coordinates (CCs) (which comes from the complex boost CCLB in the ℂΜ^4) to the real CCs in the Μ^4: Χ´ = R~_ΒLO´(Ο) Χ´_C , is an imaginary spatial rotation in the ℂΕ^3 with corresponding matrix R_BL. Since the closed boost CCLB is complex, the corresponding transformation of the contravariant electromagnetic tensor F^μν, leads to complex electromagnetic fields for any moving (wrt Οx^0x^1x^2x^3) Inertial Frame Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3. The complex electromagnetic tensor (which comes from the complex boost CCLB in the ℂΜ^4) is converted to real using the form F´ = R~_ΒLO´(Ο) F´_C R~_ΒLO(Ο´) . Moreover, when the unmoved frame Οx^0x^1x^2x^3 and a moving Inertial Frame Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3 are correlated via the Real Lorentz Transformations of Indirect Parallelism (RLTIP) in the Μ^4, we obtain the same real electromagnetic fields as those are given by the classical ESR. Though, when there are two moving (wrt Οx^0x^1x^2x^3), Inertial Frames Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3 and Ο´´x´´^0x´´^1x´´^2x´´^3, their real electromagnetic tensors are related, using the form F΄΄ = Λ_LΟ΄΄(Ο) Λ_LΟ(Ο΄) F΄ [Λ_LΟ΄΄(Ο) Λ_LΟ(Ο΄)]^T. In addition, we prove that the correlation between two moving (wrt Οx^0x^1x^2x^3) Inertial Frames, when they are correlated via the Real Lorentz Transformations of Indirect Parallelism (RLTIP) in the Μ^4, causes a real rotation between their frames. The rotation has opposite direction to the Thomas rotation and different measure and it is called Differentiated Thomas rotation. We apply the Differentiated Thomas rotation to the Uniform Circular Motion (UCM) and the hydrogen atom, considering that the proton is the unmoved frame Οx^0x^1x^2x^3 and the Laboratory Frame is Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3 which has infinitesimal velocity wrt Οx^0x^1x^2x^3. Using Perturbation theory, we calculate the position of the fine structure peaks of the atomic spectrum. The result is better than the ones of the Dirac Quantum theory and the Atomic Quantum theory combined with the Thomas rotation of classical ESR.

Η Θεωρία της Σχετικότητας είναι η βάση ανάπτυξης της Κβαντομηχανικής. Οι δύο αυτοί κλάδοι της Φυσικής επιστήμης βρίσκουν εφαρμογή σε τομείς, όπως η Χημεία, η Ιατρική κλπ. Συνεπώς, μια σημαντική αλλαγή στο οικοδόμημα της Σχετικότητας, θα οδηγήσει σε αλλαγές και στους παραπάνω επιστημονικούς τομείς. Η Ειδική Σχετικότητα, στην επικρατούσα εκδοχή της, καταργεί τη μεταβατική ιδιότητα της παραλληλίας, όταν συσχετίζονται τρεις παρατηρητές, αφού η (Πραγματική) Προώθηση Lorentz δεν είναι κλειστός μετασχηματισμός. Στην εργασία αυτή, θεωρούμε το γενικό γραμμικό μετασχηματισμό της Προώθησης Αδρανειακών Συστημάτων αναφοράς και αξιώνουμε να διατηρείται αναλλοίωτη η χωροχρονική απόσταση Lorentz (S^2 ). Επιπρόσθετα, αξιώνουμε να μην επέρχεται στροφή των αξόνων, όταν συσχετίζουμε τρεις παρατηρητές, ώστε ο μετασχηματισμός να είναι κλειστός. H λύση του προβλήματος συνοψίζεται σε πίνακα που περιέχει πραγματικούς και φανταστικούς αριθμούς. Συνεπώς, ο χώρος καθίσταται μιγαδικός, ενώ ο χρόνος παραμένει πραγματικός. Δηλαδή ο (Πραγματικός) χώρος Minkowski (M^4) επεκτείνεται στο Μιγαδικό χώρο Minkowski (ℂΜ^4) και έχουμε την Κλειστή Μιγαδική Προώθηση Lorentz (Closed Complex Lorentz Boost) (CCLB): X΄_C = Λ_ΒΟ΄(Ο) X. Έτσι η μεταβατική ιδιότητα της παραλληλίας ευθειών, που είναι ισοδύναμη με το 5ο Ευκλείδειο Αίτημα, διατηρεί την ισχύ της και για κινούμενες ευθείες (άξονες) στο Μιγαδικό χώρο Minkowski (ℂΜ^4). Ακόμη από τη συγκεκριμένου προσανατολισμού κλειστή προώθηση CCLB εντός του χώρου ℂΜ^4, λαμβάνουμε την αντίστοιχη Ομάδα Μιγαδικών Προωθήσεων Lorentz Συγκεκριμένου Προσανατολισμού (Group of Closed Complex Lorentz Boosts with Specific Orientation) (GrCCLB//) που είναι υποομάδα της Μιγαδικής Ομάδας Lorentz (Complex Lorentz group) L_C(4) ≡ L(6, ℂ) η οποία προκύπτει από το συνδυασμό της CCLB με Μιγαδική Χωρική Στροφή. Αν η CCLB συνδυαστεί τόσο με Μιγαδική Χωρική Στροφή, όσο και με χωροχρονική μετάθεση εντός του ℂΜ^4, τότε έχουμε τον Γενικό Μιγαδικό Μετασχηματισμό Lorentz (General Complex Lorentz Transformation) (GCLT) από όπου προκύπτει η Μιγαδική Ομάδα Poincaré (Complex Poincaré group) P(10, ℂ). Επίσης, αποδεικνύουμε ότι ο Μιγαδικός Χωροχρόνος Minkowski (ℂΜ^4) ουσιαστικά, δε διαφέρει από τον Μιγαδικό Ευκλείδειο Χωροχρόνο (ℂΕ^4), αφού η διαφορά στη μετρική τους, οφείλεται στη διαφορετικότητα των μοναδιαίων διανυσμάτων της μηδενικής διάστασης στις βάσεις των δύο χώρων. Έτσι εύκολα βρέθηκε και η αντίστοιχη Κλειστή Μιγαδική Ευκλείδειος Προώθηση (Closed Complex Euclidean Boost) (CCEB) στον Μιγαδικό Ευκλείδειο Χωροχρόνο (ℂΕ^4). Αξιώνοντας την ύπαρξη (ακίνητου) Αδρανειακού Συστήματος αναφοράς (Οx^0x^1x^2x^3) στο οποίο ο χωρόχρονος είναι πραγματικός, τότε και τα υπόλοιπα φυσικά μεγέθη (ταχύτητα, ενέργεια κλπ) είναι (σε αυτό το Αδρανειακό Σύστημα αναφοράς) πραγματικά. Αφού οι κλειστές μιγαδικές προωθήσεις CCLB και CCEB είναι ισομετρικοί μετασχηματισμοί, τόσο το μέτρο Lorentz, όσο και το Ευκλείδειο μέτρο θα είναι πραγματικά σε κάθε Αδρανειακό Σύστημα αναφοράς Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3. Επιπλέον, προκύπτει ότι σε κάθε κινούμενο (ως προς το Οx^0x^1x^2x^3) Αδρανειακό Σύστημα αναφοράς Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3, ο χώρος καθίσταται μιγαδικός, ενώ ο χρόνος παραμένει πραγματικός. Γενικότερα, για τους κινούμενους αδρανειακούς παρατηρητές, οι μηδενικές Καρτεσιανές συντεταγμένες (Cartesian Coordinates) (CCs) των τετρανυσμάτων (π.χ. η ενέργεια) είναι πραγματικές, ενώ οι χωρικές Καρτεσιανές συντεταγμένες (Cartesian Coordinates) (CCs) (π.χ. η ορμή) είναι μιγαδικές, αλλά έχουν μέτρο πραγματικό. Αποδεικνύουμε επίσης, ότι η ταχύτητα του φωτός είναι αναλλοίωτη ποσότητα, έστω και αν οι συντεταγμένες της είναι μιγαδικές. Στη συνέχεια, τα πραγματικά μέτρα των μιγαδικών διανυσμάτων σύμφωνα με την Κλειστή Μιγαδική Προώθηση Lorentz (CCLB) σε Μιγαδικό Χωροχρόνο Minkowski (ℂΜ^4) οδηγούν στην (Ανοικτή Πραγματική) Προώθηση Lorentz σε Πραγματικό Χωροχρόνο Minkowski (Μ^4). Οπότε μπορούμε να έχουμε μια από τις ακόλουθες θεωρήσεις:(i) Η (ανοικτή πραγματική) Προώθηση Lorentz συσχετίζει πάντα δύο οποιαδήποτε Αδρανειακά Συστήματα Αναφοράς με παράλληλους τους αντίστοιχους χωρικούς άξονες. Αφού η Προώθηση Lorentz δεν είναι κλειστός γραμμικός μετασχηματισμός, αυτό είναι ασύμβατο με το 5ο Ευκλείδειο αίτημα διότι αυτό είναι ισοδύναμο με τη μεταβατική ιδιότητα της παραλληλίας του Ε^3. Δηλαδή η παραλληλία δύο κινούμενων ευθειών/αξόνων παύει να είναι απόλυτη και γίνεται σχετική. Έτσι προκύπτει η Υπερβολική Γεωμετρία του M^4, σύμφωνα με την πλειοψηφία των ερευνητών της Θεωρία της Σχετικότητας. Αυτή η θεώρηση οδηγεί στον κλειστό μετασχηματισμό Lorentz (Lorentz transformation) που είναι συνδυασμός της (ανοικτής πραγματικής) Προώθησης Lorentz (Lorentz Boost) με Ευκλείδεια Στροφή (Euclidean Rotation), στην Ομάδα Lorentz (Lorentz Group) και στη κλασσική Στροφή Thomas (Thomas Rotation) [10] (pp. 307-308), [5] (pp. 29-36), [14].(ii) Η (ανοικτή πραγματική) Προώθηση Lorentz συσχετίζει μόνο το (ακίνητο) Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς Οxyz με οποιοδήποτε Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς Ο´x´y´z´ έχει παράλληλους χωρικούς άξονες με τους αντίστοιχους του Οxyz. Η θεώρηση αυτή είναι σε συμφωνία με το 5ο Ευκλείδειο αίτημα στον Μιγαδικό Ευκλείδειο χώρο (ℂΕ^3). Έτσι η παραλληλία δύο κινούμενων ευθειών/αξόνων παραμένει απόλυτη στον ℂΕ^3 όπου ισχύει η Μιγαδική Ευκλείδεια Γεωμετρία, αλλά γίνεται σχετική στον V^3 όπου ισχύει η Πραγματική Υπερβολική Γεωμετρία. Επίσης, οδηγεί σε ένα νέο συσχετισμό (μετασχηματισμό) δύο αδρανειακών συστημάτων αναφοράς που ονομάζεται Πραγματικός Μετασχηματισμός Lorentz Έμμεσης παραλληλίας (Real Lorentz Transformation of Indirect Parallelism) (RLTIP) εντός του χώρου Μ^4. Η ονομασία αυτή προέκυψε διότι στο χώρο V^3, τα δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς Ο´x´y´z´ και Ο´´x´´y´´z´´ έχουν παράλληλους τους αντίστοιχους άξονές τους σύμφωνα με το (ακίνητο) Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς Οxyz, ενώ οι αντίστοιχοι άξονές τους δεν είναι παράλληλοι όταν επιχειρείται ο άμεσος συσχετισμός τους: Χ΄΄ = Λ_LΟ΄΄(Ο) Λ_LΟ(Ο΄) Χ΄, όπου Λ_L είναι ο Πίνακας Lorentz. Αντίθετα, ο παραλληλισμός των αντιστοίχων αξόνων των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς Ο´x´y´z´ και Ο´´x´´y´´z´´ διατηρείται στον ℂΕ^3. Ακόμη από τον Πραγματικό Μετασχηματισμό Lorentz Έμμεσης παραλληλίας εντός του χώρου Μ^4, λαμβάνουμε την αντίστοιχη Ομάδα των Πραγματικών Μετασχηματισμών Lorentz Έμμεσης παραλληλίας (Group of Real Lorentz Transformations of Indirect Parallelism) (GrRLTIP) που είναι Υποομάδα της (Πραγματικής) Ομάδας Poincaré P(10, R).Εφαρμόζουμε την παραπάνω θεώρηση για την εξαγωγή σχέσεων μεταξύ φυσικών μεγεθών, οι οποίες είναι ίδιες με την κλασσική Σχετικότητα του Einstein (Einsteinian Special Relativity) (ESR), όταν συσχετίζεται ένα κινούμενο IF Οʹxʹyʹzʹ με το Ακίνητο IF Οxyz (π.χ. είναι ίδιο το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler). Όμως, τα αποτελέσματα είναι διαφορετικά, όταν συσχετίζονται περισσότεροι από δυο συστήματα αναφοράς ή δύο κινούμενα (ως προς το Ακίνητο IF Οxyz) αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Επιπρόσθετα, βρίσκουμε ότι ο μετασχηματισμός που μετατρέπει τις μιγαδικές Καρτεσιανές συντεταγμένες (Cartesian Coordinates) (CCs) των φυσικών μεγεθών (που προκύπτουν από την κλειστή προώθηση CCLB στον ℂΜ^4) στις αντίστοιχες πραγματικές CCs: Χ´ = R~_ΒLO´(Ο) Χ´_C , είναι μια φανταστική χωρική στροφή στον ℂΕ^3 με αντίστοιχο πίνακα R_BL. Επειδή η κλειστή προώθηση CCLB είναι μιγαδική, ο αντίστοιχος μετασχηματισμός του ανταλλοίωτου (contravariant) ηλεκτρομαγνητικού τανυστή F^μν, οδηγεί σε μιγαδικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία για οποιοδήποτε κινούμενο (ως προς το Οx^0x^1x^2x^3) Αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3. Επιπλέον, οι μιγαδικοί ηλεκτρομαγνητικοί τανυστές των κινουμένων παρατηρητών (που προκύπτουν από την κλειστή προώθηση CCLB στον ℂΜ^4) μετατρέπονται σε πραγματικούς, μέσω του τύπου F´ = R~_ΒLO´(Ο) F´_C R~_ΒLO(Ο´) . Ακόμη, η συσχέτιση του (ακίνητου) Αδρανειακού συστήματος Οx^0x^1x^2x^3 με ένα κινούμενο Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3 σύμφωνα με τον Πραγματικό Μετασχηματισμό Lorentz Έμμεσης παραλληλίας (RLTIP) εντός του χώρου Μ^4, δίνει ακριβώς ίδια πραγματικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία, με εκείνα που προβλέπει η κλασική σχετικότητα που χρησιμοποιεί τον πίνακα Lorentz. Όμως, όταν έχουμε δυο κινούμενα (ως προς το Οx^0x^1x^2x^3) Αδρανειακά συστήματα αναφοράς Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3 και Ο´´x´´^0x´´^1x´´^2x´´^3, τότε οι πραγματικοί ηλεκτρομαγνητικοί τανυστές τους συσχετίζονται με τον τύπο F΄΄ = Λ_LΟ΄΄(Ο) Λ_LΟ(Ο΄) F΄ [Λ_LΟ΄΄(Ο) Λ_LΟ(Ο΄)]^T. Επιπρόσθετα, αποδεικνύουμε ότι ο συσχετισμός δύο κινουμένων (ως προς το Οx^0x^1x^2x^3) Αδρανειακών συστημάτων αναφοράς, στην περίπτωση του Πραγματικού Μετασχηματισμού Lorentz Έμμεσης παραλληλίας (RLTIP) εντός του χώρου Μ^4, συνοδεύεται από μια πραγματική στροφή του ενός συστήματος ως προς το άλλο. Αυτή η στροφή είναι αντιθέτου φοράς και διαφορετικού μέτρου από την Στροφή Thomas που την ονομάζουμε Διαφοροποιημένη Στροφή Thomas (Differentiated Thomas Rotation).Εν συνεχεία, εφαρμόζουμε τη Διαφοροποιημένη Στροφή Thomas στην Ομαλή κυκλική κίνηση (Uniform Circular Motion) (UCM) και στο άτομο του υδρογόνου, θεωρώντας το πρωτόνιο ως (ακίνητο) Σύστημα αναφοράς Οx^0x^1x^2x^3 , τον παρατηρητή εργαστηρίου ως Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3 που κινείται με απειροστή ταχύτητα ως προς το Οx^0x^1x^2x^3 και το επιταχυνόμενο ιδιοσύστημα του ηλεκτρονίου ως Ο´´x´´^0x´´^1x´´^2x´´^3. Με την Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών, υπολογίζουμε τη θέση των κορυφών λεπτής υφής των ατομικών φασμάτων. Το αποτέλεσμα είναι ακριβέστερο, τόσο από αυτό που προκύπτει με τη κβαντική θεωρία του P. Dirac, όσο και από αυτό που προκύπτει με τη κβαντική θεωρία συνδυαζόμενη με τη Στροφή Thomas της κλασσικής ESR.