Μαθηματικές ιδιότητες της γραμμικής ελαστικότητας

Abstract

The mechanics of continuous media and the theory of elasticity are fundamental to science and technology. This thesis examines the basic properties of linear isotropic and anisotropic elasticity, developing analytical solutions. Starting with isotropic materials, linear isotropic elasticity is described by Hooke's and Newton's laws, leading to the generalized Navier equation. Spherical geometry is employed to solve elasticity problems, producing fundamental functions in spherical coordinates. Anisotropic elasticity investigates materials with properties that vary with orientation, applying the theory to Newton's and Hooke's laws, as well as the stiffness operator. The study focuses on the cubic system, using a modified gradient operator to describe the behavior of anisotropic materials. Theoretically, anisotropic harmonic functions are calculated and used to solve Newton's law without body forces, producing polynomial solutions for isotropic and anisotropic materials. The reliability of the methodology is confirmed through results transitioning from the anisotropic to the isotropic domain, with application to a representative problem.

Η μηχανική των συνεχών μέσων και η θεωρία της ελαστικότητας είναι βασικές για την επιστήμη και την τεχνολογία. Η παρούσα διατριβή μελετά τις βασικές ιδιότητες της γραμμικής ισότροπης και ανισότροπης ελαστικότητας, αναπτύσσοντας αναλυτικές λύσεις. Αρχίζοντας από τα ισότροπα υλικά, η γραμμική ισότροπη ελαστικότητα περιγράφεται από τους νόμους του Hooke και του Newton, οδηγώντας στη γενικευμένη εξίσωση Navier. Η σφαιρική γεωμετρία χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων ελαστικότητας, παράγοντας βασικές συναρτήσεις σε σφαιρικές συντεταγμένες. Η ανισότροπη ελαστικότητα εξετάζει υλικά με ιδιότητες που αλλάζουν με τον προσανατολισμό, εφαρμόζοντας τη θεωρία στον νόμο του Newton και του Hooke, καθώς και τον τελεστή δυσκαμψίας. Η μελέτη επικεντρώνεται στο κυβικό σύστημα, χρησιμοποιώντας έναν τροποποιημένο τελεστή κλίσης για την περιγραφή της συμπεριφοράς ανισότροπων υλικών. Υπολογίζονται θεωρητικά ανισότροπες αρμονικές συναρτήσεις και χρησιμοποιούνται για την επίλυση του νόμου του Newton χωρίς σωματικές δυνάμεις, παράγοντας πολυωνυμικές λύσεις για ισότροπα και ανισότροπα υλικά. Η αξιοπιστία της μεθοδολογίας επιβεβαιώνεται μέσω των αποτελεσμάτων από τον ανισότροπο στον ισότροπο χώρο, με εφαρμογή σε ένα αντιπροσωπευτικό πρόβλημα.