Μορφές ισοδυναμίας χώρων και αλγεβρών τελεστών

Abstract

The aim of this thesis is to present and study equivalence forms between spaces and algebras of operators. We are interested to Morita type equivalences which replace the notion of an isomorphism by a weaker, more flexible, identification. This allows us to identify algebras with equivalent categories of representations, thus generalizing the setting introduced by Rieffel for C*-algebras and von Neumann algebras, by Blecher, Muhly and Paulsen for non-selfadjoint operator algebras and later by Eleftherakis for dual (or not) operator algebras and dual operator spaces. In the first part of this thesis we define Δ-Morita and σΔ-Morita equivalence for algebras and spaces of operators. We characterize Δ-pairs and σΔ-pairs through their categories of left operator modules and we prove that σΔ-Morita equivalent operator spaces are stably isomorphic and vice versa. We continue by studying a special class of operator modules over operator algebras, the so-called rigged modules which generalize the notion of Hilbert modules that was developed by Rieffel and Paschke. We characterize the rigged modules over an operator algebra which are orthogonally complemented in C_{oo}(A). We use this subcategory of modules in order to define Morita type equivalences between rigged modules and examine whether these notions imply stable isomorphism between the corresponding modules as well as the operator algebras on which these modules act. We also study Morita type equivalences between w*-rigged modules again under the motivation of whether these equivalences imply stable isomorphism. The second part of this thesis is devoted to the open problem of similarity of morphisms of C*-algebras introduced by Kadison: Given a unital C*-algebra A and a unital bounded morphism u: A -> B(H), where H is a Hilbert space, does there exist an invertible operator S belonging to B(H) such that the map π(x)=S^{-1} u(x) S defines a *-morphism of A? We present some criteria to decide when this problem has an affirmative answer and we prove that it is equivalent to anotheropen problem of the theory of C*-algebras: Every hyperreflexive separably acting von Neumann algebra is completely hyperreflexive. The converse claim is always true. Using essentially the notion of hyperreflexivity of von Neumann algebras and by proving relevant theorems about hyperreflexivity, we give a lot of new examples of von Neumann algebras satisfying the similarity property. The results which we present are the results of three papers that have already been published to the international peer-reviewed journals, "Integral Equations and Operator Theory (IEOT)", "New York Journal of Mathematics (NYJM)" and "Advances in Operator Theory (AIOT)". The 4th paper is available to arxiv and it has been sent for publication to an international peer-reviewed journal.

Ο στόχος αυτής της διατριβής είναι η παρουσίαση και μελέτη μορφών ισοδυναμίας μεταξύ χώρων και αλγεβρών τελεστών. Ασχολούμαστε με ισοδυναμίες τύπου Morita που αντικαθιστούν την έννοια του ισομορφισμού με μια ασθενέστερη αλλά πιο ευέλικτη έννοια. Αυτή μας επιτρέπει να ταυτίζουμε άλγεβρες με ισοδύναμες κατηγορίες αναπαραστάσεων γενικεύοντας το πλαίσιο και τις έννοιες που όρισε αρχικά ο Rieffel για C*-άλγεβρες και von Neumann άλγεβρες, οι Blecher, Muhly και Paulsen για μη-αυτοσυζυγείς άλγεβρες τελεστών και αργότερα ο Ελευθεράκης για δυϊκές (και μη) άλγεβρες τελεστών και για χώρους τελεστών. Στο πρώτο μέρος της εργασίας αυτής ορίζουμε τη Δ-Morita και τη σΔ-Morita ισοδυναμία για άλγεβρες τελεστών και χώρους τελεστών. Χαρακτηρίζουμε τα Δ-ζεύγη και τα σΔ-ζεύγη μέσω των κατηγοριών των αριστερών προτύπων τους και αποδεικνύουμε ότι σΔ-Morita ισοδύναμοι χώροι τελεστών είναι ευσταθώς ισόμορφοι και αντίστροφα. Στη συνέχεια μελετούμε μια ειδική κατηγορία προτύπων υπεράνω αλγεβρών τελεστών, τα rigged modules, που αποτελούν γενίκευση της έννοιας των Hilbert modules όπως αυτή αναπτύχθηκε από τους Rieffel και Paschke. Χαρακτηρίζουμε τα rigged modules υπεράνω μιας άλγεβρας τελεστών Α που είναι ορθογώνια συμπληρώματα στην C_{oo}(A) και χρησιμοποιούμε αυτή την κατηγορία προτύπων για να ορίσουμε ισοδυναμίες τύπου Morita μεταξύ rigged modules εξετάζοντας πότε αυτές επάγουν ευσταθείς ισομορφισμούς και μεταξύ των προτύπων και μεταξύ των αλγεβρών τελεστών όπου τα πρότυπα δρουν. Μελετούμε επίσης ισοδυναμίες τύπου Morita για w*-rigged modules υπό το πρίσμα του πότε αυτές επιφέρουν ευσταθή ισομορφισμό. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας μας, μελετούμε το ακόμα ανοιχτό πρόβλημα της ομοιότητας μορφισμών C*-αλγεβρών που εισήχθη από τον Kadison: Δοθείσης μιας μοναδιαίας C*-άλγεβρας A και ενός μοναδιαίου φραγμένου μορφισμού u: A -> B(H), όπου H είναι χώρος Hilbert, υπάρχει αντιστρέψιμος τελεστής S που ανήκει στον B(H) ώστε η απεικόνιση π(x)=S^{-1} u(x) S να ορίζει *-μορφισμό της A; Παρουσιάζουμε κάποια κριτήρια για το πότε το πρόβλημα αυτό έχει θετική απάντηση και αποδεικνύουμε ότι είναι ισοδύναμο με ένα άλλο ανοικτό πρόβλημα της Θεωρίας των C*-αλγεβρών: Κάθε υπερανακλαστική von Neumann άλγεβρα που δρα σε διαχωρίσιμο χώρο Hilbert είναι πλήρως υπερανακλαστική. Το αντίστροφο είναι αληθές. Επίσης, χρησιμοποιώντας την έννοια της υπερανακλαστικότητας των von Neumann αλγεβρών και αποδεικνύοντας σχετικά κριτήρια υπερανακλαστικότητας, δίνουμε νέα παραδείγματα von Neumann αλγεβρών που ικανοποιούν την εικασία της ομοιότητας. Τα τρία από τα τέσσερα άρθρα, των οποίων τα αποτελέσματα παρουσιάζουμε στην εργασία αυτή, έχουν ήδη δημοσιευθεί στα διεθνή περιοδικά "Integral Equations and Operator Theory (IEOT)", "New York Journal of Mathematics (NYJM)" και "Advances in Operator Theory (AIOT)". Tο 4ο έχει δημοσιευθεί στο arxiv και έχει σταλεί σε διεθνές περιοδικό προς δημοσίευση.