Bayesian inversion techniques for stochastic differential equations

Abstract

This thesis deals with stochastic differential equations in which we are interested inrecovering the initial condition under the uncertainty which exists mainly because ofthe noise. The problem of identifying or recovering the initial condition proves to bean inverse, most of the times ill-posed problem and thus the recovery is intractable.The solutions of such equations are stochastic processes which can be treated aselements of suitable functional spaces such as Hilbert and Banach spaces. Sincethe solutions are elements of such infinite dimensional spaces, there is the necessityto define probability measures in infinite dimensional spaces. We focus our studyin defining and describing Gaussian probability measures defined in Hilbert spaces.The reason to do so, is that we will face the problem of identifying the initial conidition through by setting a Bayesian framework in stochastic differential equationsand the case of the Gaussian distributions is a very common idea applied throughoutthe literature. By establishing a Bayesian method in recovering the initial conditionof an equation, we distinguish from the usual deterministic approaches applied inthese kind of problems and use a probabilistic method instead, which is well knownin finite dimensional problems.

Αυτή η διατριβή πραγματεύεται στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις στις οποίες στόχος είναι η ανάκτηση της αρχικής συνθήκης κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας που υπάρχουν εξαιτίας του θορύβου. Το πρόβλημα της ανάκτησης της αρχικής συνθήκης είναι συνήθως ένα μη καλά τοποθετημένο πρόβλημα και έτσι η ανάκτηση της αρχικής συνθήκης μπορεί να μη γίνεται άμεσα. Οι λύσεις τέτοιων εξισώσεων συνήθως ορίζονται σε κατάλληλο συναρτησιακό χώρο όπως και πιο συγκεκριμένα σε χώρο Hilbert ή χώρο Banach. Επειδή αυτοί οι χώροι έχουν άπειρη διάσταση, πρέπει να οριστούν κατάλληλα μέτρα πιθανότητας σε απειροδιάστατους χώρους. Η διατριβή αυτή εστιάζει σε Γκαουσιανά μέτρα πιθανότητας, διότι η ανάκτηση της αρχικής συνθήκης γίνεται θέτοντας ένα κατάλληλο Μπευζιανό πλαίσιο. Με αυτόν τον τρόπο η μελέτη αυτή διαφέρει από γνωστές ντετερμινιστικές τεχνικές που εφαρμόζονται συχνά στη βιβλιογραφία.