Προβλήματα σχεδιασμού ανάδρασης συστημάτων ελέγχου

Abstract

The present thesis is organized in two independent parts. Each part contains a control design problem for different types of control systems. In the first part we focus on control systems described by parabolic PDEs and we present a new certainty equivalence-based adaptive boundary control scheme with a least-squares identifier of an event-triggering type, where the triggering is based on the size of the regulation error (as opposed to the identifier updates being triggered by the estimation error, or the control changes being triggered by the regulation error). The scheme guarantees exponential convergence of the state to zero in the L^{2} norm and a finite-time convergence of the parameter estimates to the true values of the unknown parameters. The scheme is developed for a specific benchmark problem with Dirichlet actuation, where the only unknown parameters are the reaction coefficient and the high-frequency gain. For this specific problem, no existing adaptive scheme can handle the unknown high-frequency gain. Additionally, an illustrative example allows the comparison with other adaptive control design methodologies.The work presented in the second part, extends recent results concerning sampled-data feedback stabilization for affine in the control of nonlinear systems with nonzero drift term, under the presence of a generalized control Lyapunov function associated with appropriate Lie algebraic hypo-theses concerning the dynamics of the system. The main results of present work, constitute a generalization of the well-known “Artstein-Sontag” theorem on asymptotic stabilization by means of an almost smooth feed-back controller. The analysis is limited to the affine single-input nonlinear systems with nonzero drift term, however, the results can also easily be extended to the multi-input case.

Η παρούσα διατριβή κλιμακώνεται σε δύο αυτόνομα και ανεξάρτητα μέρη, σε καθένα από τα οποία μελετάται και ένα διαφορετικό πρόβλημα ελέγχου και παρουσιάζονται διαφορετικές μεθοδολογίες σχεδιασμού ανάδρασης για το εκάστοτε σύστημα. Κατά το πρώτο μέρος, παρουσιάζουμε ένα νέο σχήμα προσαρμοστικού συνοριακού ελέγχου για παραβολικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) στις οποίες εμφανίζονται άγνωστες παράμετροι. Το εν λόγω σχήμα, είναι βασισμένο στην αρχή της certainty equivalence και συνοδεύεται από έναν εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων ο οποίος λειτουργεί με event-triggering βασισμένο στο μέγεθος του regulation error. Επιπλέον, το νέο σχήμα εγγυάται εκθετική σύγκλιση της κατάστασης στο μηδέν ως προς την L^{2} νόρμα, καθώς και σύγκλιση των εκτιμήσεων των άγνωστων παραμέτρων στις πραγματικές τους τιμές εντός πεπερασμένου χρόνου. Η αντίστοιχη ανάλυση πραγματοποιείται με σημείο αναφοράς ένα συγκεκριμένο πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών με συνοριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, όπου οι μοναδικές άγνωστες παράμετροι είναι ο reaction coefficient και το high frequency gain. Αξίζει να σημειωθεί ότι για το συγκεκριμένο πρόβλημα, δεν είχε αναπτυχθεί πρότινος κάποιο προσαρμοστικό σχήμα ελέγχου το οποίο μπορεί να χειριστεί την άγνωστη παράμετρο του high frequency gain. Επιπλέον, παρατίθεται ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγμα όπου επιτρέπεται η σύγκριση του σχήματος που περιγράφεται, με άλλα προσαρμοστικά σχήματα ελέγχου που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία.Το δεύτερο μέρος εστιάζει στην επέκταση πρόσφατων αποτελεσμάτων από τη βιβλιογραφία σχετικά με τη σταθεροποίηση γραμμικών ως προς τον έλεγχο μη γραμμικών συστημάτων, μέσω δειγματοληπτικής ανάδρασης. Συγκεκριμένα, εξάγονται ικανές συνθήκες οι οποίες εξασφαλίζουν σταθεροποίηση με χρήση δειγματοληπτικής και χρονικά μεταβαλλόμενης ανάδρασης σε μια μεγάλη κατηγορία μη γραμμικών συστημάτων ελέγχου των οποίων τα δυναμικά είναι γραμμικά στην είσοδο. Οι προτεινόμενες συνθήκες εκφράζονται μέσω της Lie άλγεβρας των δυναμικών του συστήματος, καθώς και μιας γενικευμένης συνάρτησης ελέγχου Lyapunov. Τα κεντρικά αποτελέσματα αποτελούν γενικεύσεις του γνωστού Θεωρήματος “Artstein-Sontag” πάνω στην ασυμπτωτική σταθεροποίηση μέσω μιας σχεδόν λείας ανάδρασης. Η ανάλυση που πραγματοποιείται, περιορίζεται στην περίπτωση μιας εισόδου σε γραμμικά ως προς τον έλεγχο μη γραμμικά συστήματα με μη μηδενικό drift term, ωστόσο, τα εξαγόμενα συμπεράσματα μπορούν εύκολα να επεκταθούν και για την περίπτωση πολλαπλών εισόδων.