Ευθέα και αντίστροφα φασματικά προβλήματα στη θεωρία σκέδασης

Abstract

This thesis investigates the direct and inverse spectral problem for a modification to the classical transmission eigenvalue problem, by introducing an artificial metamaterial background. For the direct problem, we utilize a variational formulation setting and the Hilbert-Schmidt theorem to prove discreteness and existence of the spectrum. Furthermore, under a smallness condition on the wavenumber, we discover that the corresponding eigenfunction pairs are not complete in the solution space, in the sense that they do not form a Riesz basis. We define an auxiliary spectral problem that yields an orthonormal basis, in contrast to the original problem. Afterwards, we use this basis to implement a spectral Galerkin scheme for the approximation of the eigenvalues. We are able to prove convergence of the discrete Galerkin scheme to the unknown eigenvalues, under the previously mentioned condition on the wavenumber. Finally, in the case where the domain is a unit disk, we present some numerical examples for the method that we are able to verify, using analytically computed eigenvalues. In the special case of a three dimensional, spherically symmetric refractive index, we show existence of the spectrum in an alternative way, utilizing asymptotic expressions for the corresponding characteristic functions. Furthermore, we pose the inverse spectral problem and show that the knowledge of the spectrum can uniquelydetermine fractions of boundary Cauchy data. These ratios, under the assumption that the wavenumber is not a Dirichlet eigenvalue, are then used to prove a uniqueness theorem for the reconstruction of a C[0, 1] refractive index.

Αυτή η διατριβή εξετάζει το ευθύ και αντίστροφο πρόβλημα για μια τροποποίηση του κλασικού προβλήματος ιδιοτιμών διαπερατότητας, η οποία προκύπτει μέσω της εισαγωγής ενός τεχνητού μεταϋιλικού υποβάθρου. Για τη μελέτη του ευθέος προβλήματος, αξιοποιούμε τη μεταβολική του διατύπωση και το θεώρημα Hilbert-Schmidt για να αποδείξουμε την διακριτότητα και ύπαρξη του φάσματος. Επιπρόσθετα, εάν ο κυματάριθμος είναι αρκούντως μικρός, συμπεραίνουμε ότι τα αντίστοιχα ζεύγη ιδιοσυναρτήσεων δεν αποτελούν πλήρες σύστημα στον χώρο λύσεων αφού δεν σχηματίζουν βάση Riesz. Ακολούθως, ορίζουμε ένα βοηθητικό φασματικό πρόβλημα το οποίο μας προμηθεύει με μια ορθοκανονική βάση, σε αντίθεση με το αρχικό πρόβλημα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τη βάση αυτή για να εφαρμόσουμε ένα φασματικό σχήμα Galerkin, το οποίο θα προσεγγίζει τις άγνωστες ιδιοτιμές. Κάτω από την προαναφερθείσα συνθήκη για τον κυματάριθμο, αποδεικνύουμε ότι το διακριτό σχήμα Galerkin συγκλίνει στις άγνωστες ιδιοτιμές. Τέλος, για την ειδική περίπτωση όπου το χωρίο είναι ο μοναδιαίος δίσκος, παρουσιάζουμε κάποια αριθμητικά αποτελέσματα από την εφαρμογή της μεθόδου τα οποία επαληθεύουμε, χρησιμοποιώντας αναλυτικά υπολογισμένες ιδιοτιμές.Στην ειδική περίπτωση ενός τρισδιάστατου, σφαιρικά συμμετρικού δείκτη διάθλασης παρουσιάζουμε μια εναλλακτική απόδειξη για την ύπαρξη του φάσματος, αξιοποιώντας ασυμπτωτικές εκφράσεις για τις αντίστοιχες χαρακτηριστικές συναρτήσεις. Επιπλέον,θέτουμε το αντίστροφο φασματικό πρόβλημα και δείχνουμε ότι η γνώση του φάσματος μπορεί να προσδιορίσει με μοναδικό τρόπο μια ακολουθία πηλίκων από συνοριακά δεδομένα Cauchy. Τα πηλίκα αυτά, κάτω από την υπόθεση ότι ο κυματάριθμος δεν αποτελείιδιοτιμή Dirichlet, χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την απόδειξη ενός θεωρήματος μοναδικότητας για την ανακατασκευή ενός C[0, 1] δείκτη διάθλασης.