Απεικονίσεις του λειτουργικού εγκεφάλου σε ελλειψοειδή προτυποποίηση

Abstract

The electromagnetic activity of the human brain is studied via the non invasivemethods of Electroencephalography and Magnetoencephalography.Electroencephalography (EEG) and Magnetoencephalography (MEG) are the twobrain imaging modalities which have the necessary temporal resolution, for the studyof the functional brain.It is well known that an electrochemically generated current in the interior of the braingenerates an electric and a magnetic field, both in the interior and exterior of thebrain.The resulting electric and magnetic fields are measured on the surface and the exteriorof the head via the EEG and MEG, respectively.For both of these modalities we know the direct mathematical problems ofdetermining the electric potential and the magnetic flux when the interior neuronalsources, as well as the geometry of the brain-head system, are given, and the inversemathematical problems of identifying the sources once the measured EEG and MEGdata are obtained.During the last three decades both the direct and the inverse problems of EEG andMEG have been studied extensively, as it can be seen in the references of the presentwork.Obviously, the solutions of the mathematical problems of the electromagnetic brainactivity depend crucially on the geometry of the head, since this is the fundamentaldomain where the relative boundary value problems are defined. Since the simplestVIIIsuch model is the sphere, almost all contributions up until the 1990s were assumingthat the head-brain system had spherical symmetry.However, the realistic geometry for these problems is that of an ellipsoid with averagesemi-axes equal to 6 cm, 6.5 cm and 9 cm. Α number of relative solutions for the EEGand MEG problems with and without inhomogeneous nested shells, with dipole aswell as with continuous source distributions in ellipsoidal geometry have beenpublished. In particular, the inverse problems of identifying the position and themoment of a dipolar source for EEG and MEG in spherical and in ellipsoidalgeometry are know well known.Our interest on the present work steams from the fact that the machinery used in EEGand MEG practical diagnostics utilizes algorithms which are based on the assumptionthat the head has spherical symmetry. Hence, they record data from an ellipsoidalshape and interpret them as they were coming from a sphere. Then the question is:what is the error made by this assumption on the estimation of the location and themoment of a dipole?Since the solutions for the inverse EEG dipole problem in spherical and ellipsoidalgeometry were known the challenge was to transfer information from one geometricalsystem to the other, and anyone who has tried to do something like that immediatelyrecognizes the difficulty of such a task. However, as we demonstrate in this work,after lengthy and tedious calculations these representations were achieved at least forthe needed low degree eigenfunctions. The final result is the dependence of the erroron the values of the principal eccentricities of the ellipsoid. The closer theeccentricities are to zero the smaller the error, which vanishes when the eccentricitiesapproach zero, that is, as the ellipsoid degenerates to the sphere. On the other end, asthe eccentricities approach the value 1 the error becomes very large. An abrupt changeappears when the maximum eccentricity of the ellipsoid approaches values greaterthan 0.9.This work justifies the medical practice of using the spherical, instead of theellipsoidal, brain model since the eccentricities of the human brain belong to theinterval where no significant errors are present, that is in the neighborhood of 0.7Since this work can be used in any other scientific or technological applications it isIXimportant to remember that things are not so easy in the case of very elongated orvery flat ellipsoids.

Η ηλεκτρομαγνητική δραστηριότητα του εγκεφάλου μελετάται με τη βοήθεια τωνμη παρεμβατικών μεθόδων της Ηλεκτροεγκεφαλογραφίας (ΕΕΓ - EEG) και τηςΜαγνητοεγκεφαλογραφίας (ΜΕΓ - MEG), οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμεςμέθοδοι εγκεφαλικών απεικονίσεων διότι έχουν πολύ καλή χρονική ανάλυση. Ειδικότερα, κάθε ηλεκτροχημικά παραγόμενο ρεύμα στο εσωτερικό του εγκεφάλουδημιουργεί ένα ηλεκτρικό και ένα μαγνητικό πεδίο, τόσο στο εσωτερικό όσο και στοεξωτερικό του εγκεφάλου. Τα πεδία αυτά καταγράφονται στην επιφάνεια και στονεξωτερικό χώρο του κρανίου και δίνουν το Ηλεκτροεγκεφαλογράφημα και τοΜαγνητοεγκεφαλογράφημα αντίστοιχα, τα οποία μεταφέρουν πληροφορίες για τηλειτουργία του εγκεφάλου τη χρονική στιγμή της καταγραφής. Και για τις δύο αυτές μεθόδους γνωρίζουμε τα ευθέα προβλήματα για τονπροσδιορισμό του ηλεκτρικού δυναμικού και του μαγνητικού πεδίου όταν γωρίζουμετην νευρωνική πηγή που τα παρήγαγε και την γεωμετρία του εγκεφάλου, καθώς καιτα αντίστροφα προβλήματα προσδιορισμού της νευρωνικής πηγής όταν έχουμεκαταγράψει και έχουμε πάρει δεδομένα από τις μετρήσεις των ηλεκτρικών καιμαγνητικών πεδίων πάνω και έξω από τον εγκέφαλο, αντίστοιχα. Κατά την διάρκειατων τελευταίων δεκαετιών τα ευθέα και τα αντίστροφα προβλήματα τηςΗλεκτροεγκαφαλογραφίας και Μαγνητοεγκεφαλογραφίας έχουν μελετηθεί διεξοδικάόπως μπορεί κάποιος να δει και στην βιβλιογραφία της παρούσας διατριβής.VI Είναι προφανές ότι η γεωμετρία που έχουμε χρησιμοποιήσει στην προσπάθεια μαςνα λύσουμε τόσο τα ευθέα όσο και τα αντίστροφα EEG και ΜEG προβλήματαεπηρεάζει και τις λύσεις των συγκεκριμένων προβλημάτων. Μιας και το απλούστατογεωμετρικό μοντέλο για την προτυποποίηση του εγκεφάλου είναι η σφαίρα, οιπερισσότερες έρευνες μέχρι την δεκαετία του 90’ ασχολήθηκαν με αυτό. Η βέλτιστη και ρεαλιστική γεωμετρική προσέγγιση του εγκεφάλου επιτυγχάνεταιμε ένα ελλειψοειδές με ημιάξονες 9.5 cm, 6.5 cm και 6cm. Τα τελευταία χρόνια έχουνγίνει αρκετές μελέτες και έρευνες των ευθέων και αντίστροφων προβλημάτων στηνελλειψοειδή γεωμετρία με αποτέλεσμα να έχουμε πλέον αναλυτικές λύσεις αυτώντων προβλημάτων. Το ενδιαφέρον μας στην παρούσα διατριβή προήλθε από το γεγονός ότι ταμηχανήματα που χρησιμοποιούνται στην ιατρική τόσο για το EEG όσο και για τοMEG χρησιμοποιούν αλγόριθμους βασισμένους σε μια σφαιρική γεωμετρία τουεγκεφάλου. Δεδομένου ότι το ρεαλιστικό σχήμα του εγκεφάλου είναι το ελλειψοειδέςτα δεδομένα που καταγράφονται από τα ιατρικά μηχανήματα παρουσιάζουν ένασφάλμα στον εντοπισμό της νευρωνικής διέγερσης. Η μελέτη αυτού του σφάλματοςμας απασχόλησε στην παρούσα εργασία. Μιας και οι λύσεις των ευθέων και αντίστοφων EEG και MEG προβλημάτων, τόσοστην σφαιρική όσο και στην ελλειψοειδή γεωμετρία, είναι γνωστές, η δυσκολία τηςεργασίας μας ήταν η μεταφορά από την μία γεωμετρία στην άλλη. Ωστόσο, όπωςδείξαμε στη παρούσα διατριβή, μετά από πολύπλοκους και μακροσκελείςυπολογισμούς οι αναπαραστάσεις επιτεύχθηκαν τουλάχιστον για ιδιοσυναρτήσειςχαμηλού βαθμού. Τα τελικά αποτελέσματα μας δίνουν μια εξάρτηση του σφάλματοςμε τις εκκεντρότητες του ελλειψοειδούς. Συγκεκριμένα, όσο πιο κοντά στο μηδένπλησιάζουν οι εκκεντρότητες τόσο μικρότερο είναι το σφάλμα το οποίο μηδενίζεταιγια μηδενικές εκκεντρότητες, δηλαδή όταν το ελλειψοειδές εκφυλίζεται σε σφαίρα.Από την άλλη, όταν οι εκκεντρότητες πλησιάζουν την τιμή 1, το σφάλμα γίνεται πολύμεγάλο. Μια απότομη αλλαγή και αύξηση του σφάλματος παρατηρείται όταν οι ημεγαλύτερη εκκεντρότητα ξεπερνάει την τιμή 0.9. Η εργασία αυτή δικαιολογεί την διαγνωστική ιατρική που χρησιμοποιεί σφαιρικήκαι όχι ελλειψοειδή γεωμετρία, μιας και οι εκκεντρότητες του ανθρώπινου εγκεφάλουανήκουν στο διάστημα που το σφάλμα παραμένει σχετικά μικρό, δηλαδή κοντά στηνVIIτιμή 0.7. Από αυτό το γεγονός έπεται ότι η εργασία αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθείκαι σε άλλες επιστημονικές ή τεχνολογικές εφαρμογές, αλλά είναι σημαντικό ναγνωρίζουμε ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο εύκολα στην περίπτωση των πολύεπιμήκων ή πολύ επίπεδων ελλειψοειδών.