The interpretation of Plato’s Timaeus on the Receptacle in terms of the mathematical concept of anthyphairesis.

Abstract

In the present work we aim to obtain the true understanding of the nature of the Receptacle as presented in the Timaeus 48e-49a and the reason that Plato felt obliged to introduce a third entity beyond the intelligible Beings and the sensible entities.We must, however, in beginning our fresh account of the Universemake more distinctions than we did before;for whereas then we distinguished two Forms (τότε μὲν γὰρ δύο εἴδη διειλόμεθα),we must now declare another third kind (τρίτον ἄλλο γένος).For our former exposition those two were sufficient,one of them being assumed as a Model Form (παραδείγματος εἶδος),intelligible and ever uniformly existent, (νοητὸν καὶ ἀεὶ κατὰ ταὐτὰ ὄν),and the second as the model's Copy (μίμημα δὲ παραδείγματος),subject to becoming and visible. (γένεσιν ἔχον καὶ ὁρατόν)A third kind we did not at that time distinguish, considering that those two were sufficient;but now the argument seems to compel us (ἔοικεν εἰσαναγκάζειν) to try to reveal by wordsa Form that is baffling and obscure (χαλεπὸν καὶ ἀμυδρὸν εἶδος).What essential property, then, are we to conceive it to possess? This in particular,—that it should be the receptacle, and as it were the nurse, of all Becoming(πάσης εἶναι γενέσεως ὑποδοχὴν αὐτὴν οἷον τιθήνην).Yet true though this statement is, we must needs describe it more plainly. 48e2-49a7Timaeus is Plato’s creation story and description of the physical world. In the middle of the dialogue, Timaeus 48b2, the discourse of the universe is interrupted and a “new beginning” is essessential for describing and explainind the physical world. In the passage 48a2-53c3 Plato introduces a new, third kind, “the receptacle of all coming-to-be”, alongside with the twofold distinction of Forms and the sensibles. The question raised is how could there be such a thing, what is it and why it must be introduced at all. What intriged our interest the most is a bold and, at first sight, unexpeted geometrisation (53c4-58c) following the receptacle passage (48e2-53c3). Plato seems to be following the greek physiology tradition and speaks of the existence of four elements, fire, air, water and earth but by exploiting the theory of the regular solids, as presented in the XIII Book of Euclid’s Elements, he associates the four elements with the canonical solids. It is fair to state that both the reason why Plato felt compelled to introduce the Third Kind and its nature have so far eluded understanding and remained a mystery up to this point, and this certainly not because of any lack in efforts. We were surprised when studying other scholars that the receptacle passage was taken in isolation from the rest of the Timaeus. There has been considerable discussion in a pure philoshophic aspect by the previous scholars about whether the receptacle is thought as matter, or space (in 52a8 the third kind is reffered as “chora”), and whether it is possible to think of it coherently as having both of those roles or not.In the present work we aim to obtain a new and, we believe, definitive understanding of the nature of the Receptacle and of the reason that Plato felt obliged (ἔοικεν εἰσαναγκάζειν) to introduce it. The research is based on S.Negrepontis’ anthyphairetic interpretation of Platonic philosophy according to which Plato’s geometry and in particular the notion of anthyphairesis is the most crusial concept in understanding Plato’s philosophy. In this regard the intelligible Being is the philosophical analogue of a dyad in periodic anthyphairesis and a sensible body, participating in the intelligible, is described, as already seen in pre- Timaeus dialogues, mainly in Politeia 475-480, as an initial finite segment of the infinite intelligible anthyphairesis. The serious problem that results from the built-in intelligible anthyphairetic infinity, is that this infinity leads to the formation of infinite kosmoi, a problem akin to the intelligible Third Man Argument; it has not been realised that the sole reason for the necessity of introducing the Third Kind in the Timaeus is the necessity to avoid infinite kosmoi. At this point it must be emphasized that the intelligibility is neutral on this problem, its only necessary condition being that the intelligible must retain the control of the sensibles, whether these sensibles live in infinitely many kosmoi or in one kosmos.Plato attempts to deal with the problem, by eliminating the infinite multitude of anthyphairetic remainders, replacing them by the mathematically equivalent tight double inequalities and generalized side and diameter numbers (the “convergents” of modern continued fractions), which are vividly and aptly described, in order to represent every sensible body, as a dyad consisting of Content and Receptacle, but he realizes that such arithmetical methods, while they work perfectly well for the geometric anthyphairetic remainders, fail to make sense for the intelligible philosophical analogues of the geometric anthyphairetic remainders.It is precisely because of this differentiation that Plato finds it necessary to introduce the geometric Third Kind; it consists of the four primary bodies, each identified with one of the surfaces of the four (minus the 12hedron) canonical solids, primary earth PE/cube, primary water PW/20hedron, primary air PA/8hedron, primary fire PF/pyramid, studied in the Theaetetean Book XIII of Euclid’s Elements.

Το συγκεκριμένο θέμα που πραγματεύεται ο διάλογος Τίμαιος είναι η περιγραφή των αισθητών στο πλαίσιο της Πλατωνικής φιλοσοφίας των νοητών. Στο χωρίο ΤΙΜΑΙΟΣ 48e-49a ο Πλάτων διακόπτει την διήγηση του αισθητού κόσμου και αναφέρει ότι θα ξεκινήσει μία νέα περιγραφή, αυτή τη φορά με πληρέστερη ταξινόμηση. Ενώ στην πρώτη προσπάθεια είχε διακρίνει δύο είδη, τα Νοητά και τα «μιμήματα» αυτών, τα αισθητά, τώρα είναι «αναγκασμένος» να εισαγάγει (ἔοικεν εἰσαναγκάζειν) ένα νέο, τρίτο είδος «δύσκολο και σκοτεινό». Είναι η η Υποδοχή κάθε γέννησης "πάσης εἶναι γενέσεως ὑποδοχὴν αὐτὴν οἷον τιθήνην" (49a5-6).Η μελέτη για την ερμηνεία της ‘Υποδοχής’ στηρίχτηκε στην πολύχρονη και συστηματική μελέτη των αρχαίων ελληνικών συγγραμάτων της ιστορίας των μαθηματικών από τον κ. Σ. Νεγρεπόντη σύμφωνα με την οποία η γεωμετρική έννοια της περιοδικής ανθυφαίρεσης, η οποία δημιουργήθηκε από την μελέτη της ασυμμετρίας από τους Πυθαγόρειους, τον Θεόδωρο και τον Θεαίτητο, είναι κομβικής σημασίας στην κατανόηση του συνόλου της Πλατωνικής φιλοσοφίας.Η θεωρία του Πλάτωνα για τις νοητές οντότητες, τις αιώνια αμετάβλητες, Ιδέες, αναλύθηκε με συστηματικό τρόπο στους διαλόγους Παρμενίδη, Σοφιστή και Πολιτικό και βρίσκεται παρούσα σε όλους τους Πλατωνικούς διαλόγους, περιλαμβανομένων των διαλόγων Πολιτεία, Φαίδων, Μένων, Συμπόσιο, Θεαίτητος. Σύμφωνα με την ερμηνεία της Πλατωνικής φιλοσοφίας που δόθηκε από τον κ. Σ. Νεγρεπόντη (2012, 2018, 2019), ένα Νοητό oν αποτελεί το φιλοσοφικό ανάλογο μιας δυάδας μεγεθών που έχει άπειρη και συγκεκριμένα περιοδική ανθυφαίρεση. Ο ΤΙΜΑΙΟΣ είναι ο πρώτος διάλογος στον οποίο γίνεται εκτεταμένη περιγραφή των αισθητών. Μια γενική θεωρία των αισθητών ως πεπερασμένη αρχική ανθυφαιρετική προσέγγιση των νοητών έχει ήδη αναπτυχθεί σε προηγούμενους διαλόγους (Συμπόσιο 210e-211a, Πολιτεία 475e-480a, 509d-510b), γνωρίζουμε ότι κάθε αισθητό μετέχει σε ένα Νοητό ον και συνεπώς η γνώση του αισθητού έρχεται μέσω της Αληθούς Δόξας του Νοητού στο οποίο μετέχει, ενώ η Αληθής Δόξα του Νοητού ταυτίζεται με ένα αρχικό πεπερασμένο τμήμα της άπειρης νοητής ανθυφαίρεσης (Θεαίτητος 189e-190a, Σοφιστής 264a-b). Πέρα, όμως, από τη γενική περιγραφή του αισθητού όντος ως μίμημα του Νοητού στο οποίο μετέχει, στον ΤΙΜΑΙΟ, διαβάζουμε ένα επιπλέον, παράδοξο εκ πρώτης όψεως, στοιχείο. Τα αισθητά φαίνεται να μετέχουν όλα σε μία μοναδική νοητή οντότητα, μία νοητή δυάδα (30c2-31a1). Eπιπρόσθετα στα δύο είδη, Νοητά και αισθητά, στο μέσο του διαλόγου (49a3) ο Πλάτων διακόπτει την διήγηση για τον αισθητό κόσμο και αναφέρει ότι απαιτούν οι συνθήκες να ξεκινήσει μία νέα περιγραφή συμπεριλαμβανομένου ενός νέου είδους, το οποίο ονομάζει ‘Υποδοχή’. Αργότερα αναφέρεται σε αυτό ως η «χώρα» όσων έχουν γεννηθεί. Προκειμένου να ερμηνεύσουμε την έννοια της υποδοχής/χώρας, μελετούμε αρχικά την έννοια του τόπου/χώρας στον Αριστοτέλη και την κριτική που ασκεί ο ίδιος στον Πλάτωνα (Αριστοτέλους, Φυσικά.Δ2. 209a32-b1, 209b11-16, 210b28-211a5). Από την κριτική του Αριστοτέλη στον Πλάτωνα γεννάται το δίλημμα αν η Υποδοχή είναι το υλικό υπόστρωμα των αισθητών ή η χώρα/τόπος που καταλαμβάνουν και φαίνεται πως αυτό το δίλημμα έχει αποτελέσει την αφετηρία στην ερμηνεία της έννοιας της υποδοχής από προγενέστερους μελετητές όπως είναι οι M.F.Cornford, D.Zeyl, D.Miller σε τέτοιο βαθμό ώστε η ερμηνεία της υποδοχής να περιορίζεται σε απαντήσεις φιλοσοφικού επιπέδου και να αγνοούν εντελώς το μαθηματικό υπόβαθρο στο οποίο στηρίζεται η Πλατωνική φιλοσοφία.Εφόσον τα νοητά όντα, αποτελούν το φιλοσοφικό ανάλογο μίας δυάδας μεγεθών σε άπειρη, περιοδική, ανθυφαίρεση, έχουν μια ανθυφαιρετική απειρία, από την οποία μπορούν να οδηγήσουν τα αισθητά, λόγω των άπειρων ανθυφαιρετικών υπολοίπων, σε άπειρους κόσμους. Αυτό είναι το πρόβλημα των «άπειρων κόσμων» που διατυπώνεται δύο φορές στον ΤΙΜΑΙΟ (31a2-b3, 55c7-d2) και δεν γίνεται αντιληπτό από τους μέχρι σήμερα μελετητές (όπως Cornford, Zeyl), οι οποίοι το θεώρησαν περιθωριακό, και δεν ασχολήθηκαν με αυτό. Ως συνέπεια αυτού παρανόησαν πλήρως την συναρπαστική, μαθηματικής έμπνευσης λύση του Πλάτωνος. Η «ἀνάγκη» (48a1, 49a3, 52b3) εισαγωγής της έννοιας της Υποδοχής είναι ακριβώς για να βρεθεί το «ἴαμα» (χρησιμοποιώντας λέξη του Πλουτάρχου) στην εξάλειψη του προβλήματος των «άπειρων κόσμων».Η λύση του Πλάτωνος βασίζεται στην ιδέα της περιγραφής και αντικατάστασης των απείρων το πλήθος ανθυφαιρετικών υπολοίπων μιας ασύμμετρης δυάδος μεγεθών, με διπλές σφικτές ανισότητες πολλαπλασίων των μερών της αρχικής δυάδος. Η ιδέα αυτή προέρχεται από τα μαθηματικά όπου με τη χρήση των διπλών σφικτών ανισοτήτων της αρχικής δυάδας μεγεθών εξαλείφονται τα ανθυφαιρετικά υπόλοιπα, ενώ γίνεται ισοδύναμη περιγραφή κάθε σταδίου της μαθηματικής ανθυφαίρεσης της αρχικής δυάδας μεγεθών. Η περιγραφή των ανθυφαιρετικών υπολοίπων από τις σφικτές ανισότητες επιτυγχάνεται με χρήση των γενικευμένων διαμετρικών και πλευρικών αριθμών. Η απάλειψη των ανθυφαιρετικών υπολοίπων με αυτό τον τρόπο όντως εμποδίζει την δημιουργία απείρων κόσμων, και προς στιγμή προβάλλει ως ιδεώδης λύση. Όμως ο Πλάτων αντιλαμβάνεται ότι αυτές οι προσεγγιστικές ανισότητες δεν μπορούν να εφαρμοσθούν ή και ακόμη να έχουν νόημα για την φιλοσοφική, νοητή ανθυφαίρεση, εφόσον στο φιλοσοφικό ανάλογο της ανθυφαίρεσης δεν υπάρχουν συντελεστές.Έτσι μέσω μίας ευφυούς ευρηματικής λύσης, παραθέτει μία εκτεταμένη γεωμετρική ανάλυση με την οποία θα ταυτίσει την επιφάνεια του τεσσάρων, εκ των πέντε, κανονικών στερεών με την πρώτη γη, πυρ, αέρα, και ύδωρ, αντίστοιχα, και θα αντικαταστήσει την νοητή δυάδα με την δυάδα με τα δύο άλλα πρώτα σώματα σε συμπληρωματικό ρόλο. Τα κανονικά στερεά περιλαβάνονται στο Θεαιτήτιο ΧΙΙΙ βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη και είναι πέντε, ο κύβος, η πυραμίδα, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο. Δύο θεμελιώδη ορθογώνια τρίγωνα, το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο Α, και το ορθογώνιο σκαληνό τρίγωνο Β, αποτελούν τους δομικούς λίθους για την κατασκευή των τεσσάρων, εκ των πέντε, κανονικών στερεών. Το τρίγωνο Α χρησιμοποιείται για την κατασκευή του κύβου, ενώ από το τρίγωνο Β κατασκευάζονται η πυραμίδα, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο (53c4-d7, 54a1-d7, 54d5-55c6). Οι κατασκευές των κανονικών στερεών από τα δύο τρίγωνα γίνονται με βάση την επιφάνεια των στερεών. Τα τρίγωνα Α και Β είναι ασύμμετρα. Ο Πλάτων αρχικά υπαινίσσεται και στη συνέχεια δηλώνει την ασυμμετρία των τριγώνων Α και Β (54b5-d3, 56d1-6). Η σύγκριση των δύο ορθογωνίων τριγώνων επιτυγχάνεται αν εγγράψουμε στον ίδιο κύκλο την έδρα του κύβου και την έδρα της πυραμίδας, δηλαδή το τετράγωνο και το ισόπλευρο τρίγωνο αντίστοιχα. Θεωρούμε ότι το τρίγωνο Α είναι το μισό της έδρας του κύβου, ενώ το τρίγωνο Β είναι το μισό της έδρας της πυραμίδας. Αποδεικνύουμε, με χρήση των προτάσεων ΧΙΙΙ.13, ΧΙΙΙ.15, ΧΙΙΙ.18 των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ και του θεμελιώδους θεωρήματος της Ακαδημίας του Πλάτωνος «Παλινδρομική Περιοδικότητα Τετραγωνικών Αρρήτων» ότι κάθε πολλαπλάσιο εμβαδού τριγώνου Α έχει περιοδική ανθυφαίρεση με κάθε πολλαπλάσιο εμβαδού τριγώνου Β. Είναι ακριβώς αυτό το σημείο στο οποίο ο Πλάτων αναγκάζεται να εισάγει το τρίτο είδος, και ως τέτοιο επέλεξε τα τέσσερα κανονικά στερεά, ώστε αυτά να παίξουν τον ρόλο της νοητής δυάδος στην παραγωγή των αισθητών. Ο Πλάτων ταυτίζει την επιφάνεια του κύβου, πυραμίδος, οκταέδρου, εικοσαέδρου με την πρώτη γη, πυρ, αέρα, και ύδωρ, αντίστοιχα. Η πρώτη γη αποτελείται από 24 (ορθογώνια ισοσκελή) τρίγωνα Α ενώ το πρώτο πυρ, αήρ, ύδωρ αποτελούνται από 24, 48, 120 (σκαληνά ισοσκελή, ημι-ισόπλευρα) τρίγωνα Β αντίστοιχα. Η κύρια δυάς έχει όντως περιοδική ανθυφαίρεση, με αυτή την γεωμετρική δυάδα στη θέση της νοητής, οι επιθυμητές προσεγγίσεις είναι πραγματοποιήσιμες και η περιγραφή των αισθητών προχωρεί με μαθηματικό τρόπο απρόσκοπτα.Δύο σημαντικά χωρία στον Πλάτωνα περιγράφουν την γέννηση των αισθητών, 56e7-b7 και το 58a4-c2, με το πρώτο χωρίο να αναφέρεται ρητά στην Υποδοχή, ενώ το δεύτερο στα «διάκενα» του μεγαλύτερου πρώτου σώματος, όπου διάκενα είναι οι έδρες, δηλαδή το εμβαδό της επιφάνειας, του πρώτου σώματος. Η σύγκριση και προσεχτική μελέτη αυτών των χωρίων θα ολοκληρώσουν την εικόνα της Υποδοχής, η οποία ταυτίζεται τελικά με τα διάκενα/έδρες του μεγαλύτερου πρώτου σώματος. Η γένεση των αισθητών μέσω του τρίτου είδους, της υποδοχής, περιγράφεται σε στάδια, τα οποία αντικατοπτρίζονται με φιλοσοφικού τύπου ανισότητες, ανάλογες με τις σφικτές μαθηματικές ανισότητες οι οποίες αντικαθιστούν ισοδύναμα τα στάδια της ανθυφαίρεσης με τρόπο που να εξαλείφουν τα (άπειρα) ανθυφαιρετικά υπόλοιπα, διατηρώντας σε κάθε στάδιο της ανθυφαίρεσης ανισότητες με πολλαπλάσια της αρχικής δυάδος μεγεθών. Αυτή ήταν άλλωστε και η αρχική ιδέα λύσης του προβλήματος των άπειρων ανθυφαιρετικών υπολοίπων, η οποία προήλθε από τα μαθηματικά και φαίνεται ότι με την εισαγωγή των κανονικών στερεών, την κατασκευή του από τα δύο είδη ορθογωνίων τριγώνων και τη σύνδεσή τους με τα τέσσερα στοιχεία να εφαρμόζεται πλήρως και στη φιλοσοφική Πλατωνική θεωρία. Έτσι, τα σημαντικά προβλήματα (α) αποφυγής των απείρων κόσμων, και (β) της μέθεξης της γεωμετρικής δυάδος στην νοητή, ο Πλάτων τα λύνει επικαλούμενος την θεωρία του Θεαίτητου στο Βιβλίο ΧΙΙΙ, ιδίως το γεγονός ότι τα κανονικά στερεά εγγράφονται, περιλαμβάνονται σε σφαίρα, που την ταυτίζει με τη σφαίρα του κόσμου.Με αυτό τον τρόπο, βασιζόμενος δηλαδή στα μαθηματικά του Θεαίτητου, ο Πλάτων διασώζει τόσο τη δική του θεωρία (τα αισθητά μετέχουν και διευθύνονται από τα νοητά), όσο και ότι ο κόσμος είναι ένας, δεν υπάρχουν άπειροι κόσμοι και ότι τα είδη των σωμάτων είναι τέσσερα.