The Hurwitz and Lipschitz integers and some applications

Abstract

In this thesis we examine the rings of Lipschitz and Hurwitz integers, describe some of their properties, and apply those to solve certain systems of Diophantine equations. In particular, we expound the parts of the seminal works of Hurwitz and Pall on those integers that are most relevant to our purposes. The main result of this thesis is the proof of Zhi-Wei Sun’s “1-3-5 Conjecture”. This conjecture states that any integer can be written as a sum off our squares, x^2 +y^2 +z^2 +t^2 (x, y, z, t ∈ N), in such a way that x+3y +5z is also a square. We present a proof that uses basic arithmetic on the ring of Lipschitz integers, together with an idea that combines metacommutation and conjugation by Lipschitz primes of norm 3, 5, and 7.Moreover, we prove a similar result for many systems of equations with a form analogous to the 1-3-5 conjecture. We also present a result about the cycle structure of the permutation induced by the metacommutation map for prime quaternions, and present a generalization of this map for semiprime quaternions. Finally, we propose a way to attack similar open problems by using a method that uses this generalization, and show how one can get, at least, partial results using this method.

Σε αυτή τη διατριβή εξετάζουμε τους δακτυλίους των ακεραίων Lipschitz και Hurwitz, περιγράφουμεορισμένες από τις ιδιότητές τους, και τις εφαρμόζουμε για να λύσουμε ορισμένα συστήματα απόΔιοφαντικές εξισώσεις. Ειδικότερα, επεξηγούμε τα μέρη απο τα έργα των Hurwitz και Pall στους ακέραιους αυτους αριθμούς που είναι πιο σχετικά με το δικό μαςσκοπό.Το κύριο αποτέλεσμα αυτής της διατριβής είναι η απόδειξη της «Εικασίας 1-3-5» του Zhi-Wei Sun.Αυτή η εικασία δηλώνει ότι οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να γραφτεί ως άθροισματεσσάρων τετραγώνων, x^2 +y^2 +z^2 +t^2 (x, y, z, t ∈ N), με τέτοιο τρόπο ώστε x+3y +5z να είναι επίσης ένα τετράγωνο. Παρουσιάζουμε μια απόδειξη που χρησιμοποιεί βασική αριθμητική του δαχτύλιο τωνΑκέραιων του Lipschitz, μαζί με μια ιδέα που συνδυάζει τη μέτα-μεταθετικότητακαι τη σύζευξη με πρώτους αριθμούς Lipschitz με νόρμες 3, 5 και 7.Επιπλέον, αποδεικνύουμε ενα παρόμοιο αποτέλεσμα για πολλά συστήματα εξισώσεων με μορφή ανάλογη με την εικασία 1-3-5. Παρουσιάζουμε επίσης ένα αποτέλεσμα σχετικά με τηκυκλικη δομή της μετάθεσης που προκαλείται από την συνάρτηση της μέτα-μεταθετικότητας γιαπρωτεύοντα τετραδόνια, και παρουσιάζουμε μια γενίκευση αυτης της συνάρτησης για ημιπρώιματετραδονια. Τέλος, προτείνουμε έναν τρόπο αντιμετώπισης παρόμοιων ανοιχτών προβλήμάτων χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που χρησιμοποιεί αυτή τη γενίκευση και δείχνει πώς μπορεί κανείς, χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, να αποδείξει κάποια μέρη αυτών των ανοιχτών προβλημάτων.