Τοπολογίες σε σύνολα συναρτήσεων

Abstract

Let be two topological spaces, C(Y,Z) the set of all continuous maps from Y to Z, Μ(Υ,Ζ) the set of all measurable maps from Y to Z, σ_{Ζ}(τ_{Υ}) the set consisting of the subsets of Y, where f\in M(Y,Z) and B is a measurable subset of Z, and B(Y,Z) the set of all Baire measurable maps from Y to Z. We define topologies on the set C(Y,Z), which are called F_n(τ_n)-family-open. We study these topologies and we give the necessary and sufficient conditions in order to characterize those topologies as splitting or admissible. On the set M(Y,Z), we introduce and study the notions of measurable and coordinately measurable A-splitting and A-admissible topologies, where A is a family of topological spaces. We point out that, generally, the greatest coordinately measurable A-splitting topology, on the set M(Y,Z) does not exist. This fact gives a different result from the classical theory of function topological spaces. Moreover, we present and research relations between the topologies on the set M(Y,Z) and the topologies on the set σ_{Ζ}(τ_{Υ}), concerning the notions of measurable and coordinately measurable A-splitting and A-admissible topologies. We present these notions for the set B(Y,Z), as well. Finally, let B^{α}(Y,Z), α < ω_{1}, be the set of all Borel maps of class α from Y into Z and let G^{Z}_{α}(Υ) be the set which consists of all subsets f^{-1}(U), where f\in B^{α}(Y,Z) and U is an open subset of Z. We introduce new topologies on the sets B^{α}(Y,Z) and G^{Z}_{α}(Υ) and we investigate relations between them.

Έστω Y, Z τοπολογικοί χώροι, C(Y,Z) το σύνολο των συνεχών απεικονίσεων του χώρου Y στο χώρο Z, Μ(Υ,Ζ) το σύνολο των μετρήσιμων απεικονίσεων του χώρου Y στο χώρο Z, σ_{Ζ}(τ_{Υ}) το σύνολο που αποτελείται από τα υποσύνολα f^{-1}(B) του Y, όπου f\in M(Y,Z) και B μετρήσιμο υποσύνολο του Z, και B(Y,Z) το σύνολο των Baire απεικονίσεων του χώρου Y στο χώρο Z. Επί του συνόλου C(Y,Z) ορίζουμε τοπολογίες τις οποίες καλούμε F_n(τ_n) -family-open. Μελετάμε τις τοπολογίες αυτές και δίνουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι, ώστε να είναι διαχωριστικές και συνδετικά συνεχείς.Επί του συνόλου M(Y,Z) ορίζουμε και μελετάμε τις έννοιες των μετρήσιμων και χωριστά μετρήσιμων A -διαχωριστικών και A -συνδετικά συνεχών τοπολογιών, όπου A είναι μία οικογένεια τοπολογικών χώρων. Επισημαίνουμε ότι επί του M(Y,Z) , γενικά, δεν υπάρχει η μεγαλύτερη χωριστά μετρήσιμη A-διαχωριστική τοπολογία. Το γεγονός αυτό αποτελεί ένα διαφορετικό αποτέλεσμα από τη κλασσική θεωρία των χώρων συναρτήσεων. Επίσης, παρουσιάζουμε και μελετάμε σχέσεις μεταξύ των τοπολογιών επί των συνόλων Μ(Υ,Ζ) και σ_{Ζ}(τ_{Υ}) , όσον αφορά τις έννοιες των μετρήσιμων και χωριστά μετρήσιμων A - διαχωριστικών και A-συνδετικά συνεχών τοπολογιών. Ανάλογα αποτελέσματα παρουσιάζουμε για τοπολογίες επί του συνόλου B(Y,Z). Τέλος, θεωρούμε τα σύνολα B^{α}(Y,Z) , όπου α < ω_{1} , των Borel απεικονίσεων τύπου α του χώρου Y στο χώρο Z και G^{Z}_{α}(Υ) που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα f^{-1}(U) , όπου f\in B^{α}(Y,Z) και U ανοικτό υποσύνολο του χώρου Z. Επί των συνόλων B^{α}(Y,Z) και G^{Z}_{α}(Υ) ορίζουμε νέες τοπολογίες και ερευνούμε σχέσεις μεταξύ των τοπολογιών αυτών.