Θέματα εργοδικής θεωρίας Ramsey

Abstract

This dissertation consists of three parts. In the first part we introduce the class of coideals on an infinite directed set X, and becomes possible to prove partition results for the ordered finite or infinite sequences in X with respect to a given coideal on X. Our theory extends the classical topological Ramsey theory, and in addition includes as particular cases the corresponding theory for coideals on the set of natural numbers proved by Louveau, Mathias, Farah and Todorcevic, the Milliken-Taylor partition theorems for sequences of finite subsets of natural numbers, and the partition theorems for sequences of words proved by Carlson, Bergelson-Blass-Hindman, Farmaki.In the second part we prove recurrence and multiple recurrence results for topological dynamical systems indexed by an arbitrary directed partial semigroup with respect to a coideal basis suitable for this semigroup, but otherwise arbitrary. Our theory includes recurrence and multiple recurrence results for topological dynamical systems, indexed by natural numbers, or by finite non-empty subsets of natural numbers, proved by Furstenberg and Weiss, and analogous results for topological dynamical systems indexed by words.In the third part we deal with the convergence of ergodic means and the consequences they have on recurrence problems, in combinatorics and number theory. Exploiting the equidistribution properties of polynomial sequences and following the methods developed by Leibman and Frantzikinakis, we show that the ergodic averages with iterates given by the integer part of strongly independent real valued polynomials converge in mean to the expected limit. These results have, via Furstenberg's correspondence principle, immediate combinatorial applications. Furthermore we get the respective expected limits and combinatorial results for multiple averages for a single sequence, as well as for several sequences along prime numbers.

Η διατριβή αυτή αποτελείται από τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος εισάγουμε την κλάση των coideals σε ένα άπειρο κατευθυνόμενο σύνολο X και αποδεικνύουμε διαμεριστικά αποτελέσματα για τις διατεταγμένες πεπερασμένες και άπειρες ακολουθίες του X ως προς ένα coideal. Η θεωρία που αναπτύσσουμε επεκτείνει την κλασσική τοπολογική θεωρία Ramsey και περιλαμβάνει ως ειδικές περιπτώσεις αποτελέσματα, από την αντίστοιχη θεωρία για coideal στο σύνολο των φυσικών αριθμων των Louveau, Mathias, Farah και Todorcevic, το διαμεριστικό αποτέλεσμα για ακολουθίες πεπερασμένων υποσυνόλων φυσικών αριθμών των Milliken και Taylor, αλλά και διαμεριστικά αποτελέσματα σε λέξεις του Carlson, των Bergelson, Blass και Hindman και της Φαρμάκη.Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζουμε αποτελέσματα επαναφοράς και πολλαπλής επαναφοράς για τοπολογικά δυναμικά συστήματα πάνω σε μια κατευθυνόμενη μερική ημιομάδα ως προς μια βάση coideal που είναι κατάλληλη γι αυτή. Η θεωρία μας περιλαμβάνει αποτελέσματα επαναφοράς και πολλαπλής επαναφοράς για τοπολογικά δυναμικά συστήματα πάνω στους φυσικούς αριθμούς και στα πεπερασμένα μη κενά υποσύνολα των φυσικών αριθμών που αποδείχθηκαν από τους Furstenberg και Weiss αλλά και ανάλογα αποτελέσματα για τοπολογικά δυναμικά συστήματα πάνω σε λέξεις.Στο τρίτο μέρος ασχολούμαστε με σύγκλιση εργοδικών μέσων και τις συνέπειες που έχουν σε προβλήματα επαναφοράς στη συνδυαστική και τη θεωρία αριθμών. Αξιοποιώντας ιδιότητες ομοιόμορφης κατανομής για πολυωνυμικές ακολουθίες και μεθόδους που αναπτύχθηκαν από τον Leibman και τον Φραντζικινάκη , δείχνουμε ότι οι εργοδικοί μέσοι πάνω σε ακέραια μέρη ισχυρά ανεξάρτητων πολυωνύμων, συγκλίνουν ως προς τον μέσο στο αναμενόμενο όριο. Τα αποτελέσματα αυτά έχουν μέσω της Αρχής του Furstenberg άμεσες εφαρμογές στη συνδυαστική. Επιπλέον παίρνουμε και τα αναμενόμενα όρια και τα αποτελέσματα στη συνδυαστική για πολλαπλούς εργοδικούς μεσούς για μία ακολουθία και πολλές ακολουθίες πάνω σε πρώτους αριθμούς.