Ολοκληρωσιμότητα δυναμικών συστημάτων: μία γεωμετρική προσέγγιση

Abstract

The physical phenomena are described by physical quantities related by specific physical laws. In the context of a Physical Theory, the physical quantities and the physical laws are described, respectively, by suitable geometrical objects and relations between these objects. These relations are expressed with systems of (mainly second order) differential equations. The solution of these equations is frequently a formidable task, either because the dynamical equations cannot be integrated by standard methods or because the defined dynamical system is non-integrable. Therefore, it is important that we have a systematic and reliable method to determine their integrability. This has led to the development of several (algebraic or geometric) methods, which determine if a dynamical system is integrable (or superintegrable) or not. Most of these methods concern the first integrals (FIs), that is, quantities that are constant along the evolution of the system. The FIs appear in the literature with many names such as constants of motion, conserved currents, and conservation laws. FIs are important, because they can be used to reduce the order of the system of the dynamical equations and, if there are "enough" of them, even to determine its solution by means of quadratures. In the latter case, the dynamical system is said to be Liouville integrable and it is associated with a canonical Lagrangian, whose kinetic energy defines a metric tensor known as kinetic metric. It is proved that there is a close relation between the geometric symmetries (collineations and Killing tensors) of this metric and the quantities defining the FIs. This correspondence makes it possible to use powerful results from Differential Geometry in the study of the integrability of dynamical systems. In this thesis, we study this correspondence and geometrize the determination of FIs by developing a new geometric method to compute them.

Στα πλαίσια μίας θεωρίας Φυσικής, τα φυσικά φαινόμενα περιγράφονται από φυσικά μεγέθη που ικανοποιούν συγκεκριμένους φυσικούς νόμους. Τα φυσικά μεγέθη ταυτοποιούνται με κατάλληλα γεωμετρικά αντικείμενα (ΓΑ), ενώ οι φυσικοί νόμοι με δυναμικές εξισώσεις που αφορούν τα αντίστοιχα ΓΑ. Ένα ΓΑ είναι ένα σύνολο συνιστωσών, το οποίο κάτω από μετασχηματισμούς συντεταγμένων υπακούει σε κάποιον δεδομένο νόμο μετασχηματισμού. Με βάση αυτό το χαρακτηριστικό, σε κάθε θεωρία Φυσικής ορίζονται κάποια θεμελιώδη ΓΑ, τα οποία επιλέγουν τις ομάδες μετασχηματισμών συντεταγμένων της θεωρίας. Για παράδειγμα, η μετρική Lorentz επιλέγει την ομάδα των μετασχηματισμών Lorentz (για την ακρίβεια την ομάδα των μετασχηματισμών Poincare). Η αρχή του συναλλοιώτου απαιτεί ακολούθως ότι όλα τα ΓΑ της θεωρίας θα ικανοποιούν την ομάδα μετασχηματισμών της θεωρίας, ενώ και οι νόμοι που διατυπώνει η θεωρία θα περιέχουν μόνο ΓΑ αυτού του τύπου. Κατά κανόνα οι νόμοι των (κλασικών) θεωριών Φυσικής εκφράζονται με συστήματα διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, τα οποία πρέπει να επιλυθούν (αναλυτικά ή ποιοτικά) προκειμένου να μελετηθεί ένα φυσικό φαινόμενο. Όμως, εάν εξαιρέσουμε μερικές βασικές εξισώσεις -κυρίως της μορφής του ταλαντωτή- η επίλυση αυτών των συστημάτων δεν είναι απλή, καθώς τις περισσότερες φορές οι δυναμικές εξισώσεις δεν ολοκληρώνονται είτε επειδή το σύστημα που ορίζουν είναι όντως μη ολοκληρώσιμο είτε επειδή δεν υπάρχει μία συστηματική και αξιόπιστη μεθοδολογία για την εξέταση της ολοκληρωσιμότητάς τους. Ευτυχώς, στη διάρκεια των ετών, έχουν αναπτυχθεί διάφορες μεθοδολογίες αλγεβρικές και γεωμετρικές, οι οποίες μπορούν να εγγυηθούν ότι ένα δυναμικό σύστημα είναι ολοκληρώσιμο -ή ακόμα καλύτερα υπερολοκληρώσιμο- υπολογίζοντας ποσότητες που παραμένουν σταθερές κατά μήκος λύσεων (ή τροχιών) του συστήματος. Αυτές οι ποσότητες είναι γνωστές στη βιβλιογραφία με διάφορα ονόματα όπως πρώτα ολοκληρώματα (ΠΟ), σταθερές της κίνησης, διατηρούμενα ρεύματα, και νόμοι διατήρησης. Τα ΠΟ είναι σημαντικά, διότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μειώσουν την τάξη του δυναμικού συστήματος και, εάν είναι "αρκετά'' σε αριθμό, να προσδιορίσουν ακόμα και τη λύση του μέσω πεπερασμένου αριθμού ολοκληρώσεων. Στην τελευταία περίπτωση λέμε ότι το σύστημα είναι Liouville ολοκληρώσιμο και συνδέεται με μία κανονική Lagrangian, από την κινητική ενέργεια της οποίας προκύπτει ένας μετρικός τανυστής γνωστός ως κινητική μετρική. Η παρουσία αυτής της μετρικής είναι καθοριστικής σημασίας, διότι εάν καταφέρει κάποιος να συνδυάσει τις γεωμετρικές συμμετρίες αυτής της μετρικής με τις (άγνωστες εν γένει) τανυστικές ποσότητες που ορίζουν το ΠΟ, τότε καθίσταται δυνατή η χρήση ισχυρών μεθόδων από τη Διαφορική Γεωμετρία στη μελέτη της ολοκληρωσιμότητας των δυναμικών συστημάτων. Αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι να διερευνήσει τη σχέση μεταξύ των συμμετριών της κινητικής μετρικής και των ΠΟ ενός δυναμικού συστήματος, διευκολύνοντας με αυτόν τον τρόπο την επίλυσή του.