Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης και αντίστροφα προβλήματα

Abstract

The majority of the inverse techniques aiming at the identification of distributed physical parameters or the detection of buried objects of a geometrical nature (cracks, cavities, inclusions) embedded in the physical structures, distinguish the physical from the geometric reconstruction. Their implementation entails the understanding and analysis of the physical phenomenon, the possibility of measurements extraction, the formulation of the mathematical model describing the system and the development of the corresponding numerical reconstruction method. The requirements outlined above consist the most important steps in solving an inverse problem, i.e., determining the position and the shape of the inhomogeneity as well as identifying its physical characteristics. However, the investigation method and its effectiveness depend strongly on the a priori choice of the functional space in which the unknown system’s coefficients belong to. The present work adopts a new approach in an effort to bridge the traditional gap between physics and geometry. Namely, the functions of bounded variation (BV) are here recommended as the most appropriate functional setting hosting the solutions of inverse problems, exploiting their main intrinsic characteristic to represent simultaneously their discontinuity surfaces in the formation of their domain of definition. Accordingly, their investigation implies the identification of system’s both physical and geometrical features, providing an undivided inversion tool, which complies with the applications’ reality and allows us to look further into the physical interpretation of the phenomena.In the current work, emphasis is given to the problem of reconstructing inhomogeneities represented by discrete homogeneous bodies lying into finite domains, under the assumption that the unknown parameters of the model describing the inverse problem belong to the BV- space. Thesis’ context starts with solving the inverse problem of determining the conductivity function, α(x), of a conductive medium, from boundary measurements in the form of the Calderón operator, considering that α∈BV (Ch. 2). The designed herein methodology deals with a constructed minimization scheme implicating both the characteristics of the direct and inverse conductivity problem with the unknown BV- conductivity function, constituting an effective reconstruction scheme. Functional updating is implemented via a dual iterative scheme, where the related potential fields are located in the Sobolev space H^1, but the coefficient conductivity carries the BV- structure. This is accomplished by introducing an auxiliary function, ω(x), for accompanying α’s gradients acting as a mollifier of conductivity’s discontinuity surfaces. We adopt the dual approach “Half-Quadratic Minimization Approach”, encountered in bibliography as an image restoration technique, incorporating the variable ω into the regularization of the problem. This process defines a useful regularization type for the subsequent numerical implementation. In the realm of the half-quadratic technique, the variable ω is handling one at a time candidate function α and on the basis of this routine the minimization scheme is being optimized at every iteration so as to converge progressively to the sought interfaces. In general, the classical optimization techniques for defect identification exhibit local minima. To circumvent such pitfalls, we have taken further advantage of the dual variable ω by introducing into the minimization problem prior information about the possible location of the hidden discontinuity surfaces. The constructed minimization functional in conjunction with the aforementioned additional role of ω establish the presented inversion method. We validate and illustrate our theoretical results with numerical tests of some indicative two-dimensional conductivity profiles showing the efficiency of the method.The previous investigation has led to the invention of a novel reconstruction scheme, exploiting the duality of the half-quadratic approach and concurrently maintain the BV- structure of the coefficients α throughout the optimization process. Chapter 3 solves the inverse conductivity problem via this innovative reconstruction scheme. The denominated “Dual Self-Monitored TV- inversion” technique treats equivalently the fields α and ω, developing a monitoring mechanism controlling the dual variable ω, which simultaneously monitors the jump set of α. The developed numerical method permits the identification of a wider range of inhomogeneity profiles and at the same time with lower computational cost, as it converges in one algorithmic step to a local minimum (α,ω). The method’s performance is demonstrated on the simulation phantoms of Chapter 2 and additionally a more involved inclusion case has been investigated, with the numerical results revealing an impressively accurate reconstruction, even in the presence of noisy data.Next, the work is devoted to two types of inverse problems arising in the context of elasticity (Ch. 4). First, we study the inverse problem of identifying the Lamé moduli in a two-dimensional linear and isotropic elastic medium. We focus on the simultaneous recovery of both the Lamé coefficients λ,μ, considering them as bounded variation functions, α=(λ,μ)∈(BV)^2. The realization of this purpose invokes the concept of the dual monitoring mechanism implemented in Chapter 3 for the identification of a BV- conductivity. The suggested therein parameter identification approach has been extended to the vectorial case of the 2d- linearized elasticity, defining a generalization of the reconstruction scheme on the vector variable (α,ω). We employ the framework of the reconstruction of representantive elastic structures described by their Lamé parameters for the identification of a bimaterial. The resulting minimization scheme yields exact reconstruction solutions in accordance with the scalar conductivity case.Finally, we would like to create an analogous minimization pattern for the inverse problem of identifying a planar crack in a continuous isotropic and homogeneous elastic medium, derived from the hypothesis that the elastic field itself could support a BV- structure. We recast the dual variable ω(x) with the auxiliary variable r(x) and schedule a regularization term based on connecting efficiently the variable r along with the L^1- norm of the displacement fields, for the purpose of crack identification in an infinite elastic plane. We recur the inversion for different implementations varying with the length and the position of the crack generating a single pair of synthetic data each time. It turns out obviously that such an approach constitutes only a first stage in the implementation regime of this inverse problem, since the general problem is multiparametric. In practice, many variations of this problem type can be found in different physical contexts and are accordingly subject to several limitations depending on the practice area and the goal of the study. Nevertheless, the simulation results promote the applicability of the proposed inversion technique to this testing case.

Στην πλειονότητά τους οι τεχνικές αντιστροφής που αφορούν στον προσδιορισμό των κατανεμημένων παραμέτρων ενός φυσικού συστήματος ή στην ανίχνευση ατελειών (ρωγμές, κοιλότητες, εγκλεισμοί) που εμφανίζονται εντός των φυσικών δομών, διαχωρίζουν τη φυσική και γεωμετρική ανακατασκευή. Η υλοποίησή τους απαιτεί την κατανόηση και ανάλυση του φυσικού φαινομένου, τη δυνατότητα διεξαγωγής κατάλληλων μετρήσεων, τη διαμόρφωση του μαθηματικού μοντέλου που περιγράφει το σύστημα και το σχεδιασμό της αντίστοιχης αριθμητικής μεθόδου ανακατασκευής. Όλα τα παραπάνω αποτελούν τα πλέον σημαντικά βήματα για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος δηλαδή, τον εντοπισμό της θέσης και του σχήματος της ανομοιογένειας και τον προσδιορισμό των φυσικών ιδιοτήτων της. Ωστόσο, η αναπτυχθείσα μεθοδολογία και η αποτελεσματικότητα αυτής καθορίζονται από την a priori επιλογή του συναρτησιακού χώρου που αναμένεται να ανήκουν οι άγνωστοι συντελεστές του συστήματος. Το παρόν έργο υιοθετεί μια νέα προσέγγιση με σκοπό να άρει τον παραδοσιακό διαχωρισμό φυσικής και γεωμετρίας. Ειδικά, προτείνει τις συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης (functions of bounded variation (BV)) ως το καταλληλότερο συναρτησιακό πλαίσιο για να φιλοξενεί τις λύσεις του αντίστροφου προβλήματος, αξιοποιώντας το κύριο εγγενές χαρακτηριστικό του λογισμού τους να φέρουν στο πεδίο ορισμού τους την ιδιότητα της πεπερασμένης ασυνέχειας. Με βάση αυτή τη συνθήκη, ο προσδιορισμός τους σημαίνει την εύρεση των φυσικών αλλά και γεωμετρικών ιδιοτήτων του συστήματος, ορίζοντας ένα ενιαίο πλαίσιο αντιστροφής που ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα των εφαρμογών και μας επιτρέπει να εμβαθύνουμε στη φυσική ερμηνεία των φαινομένων.Η παρούσα πρόταση εστιάζει στην επίλυση του αντίστροφου προβλήματος ανακατασκευής ανομοιογενειών που εμφανίζονται ως διακριτά ομογενή σώματα εντός πεπερασμένου χωρίου, βάσει της παραδοχής ότι οι άγνωστες παράμετροι του μοντέλου που περιγράφει το πρόβλημα ανήκουν στον χώρο BV. Η υλοποίηση του θέματος ξεκινά με την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος προσδιορισμού της συνάρτησης αγωγιμότητας, α(x), ενός αγώγιμου χωρίου από επιφανειακές μετρήσεις στη μορφή του Calderón τελεστή υπό τη θεώρηση ότι α∈BV (Κεφ. 2). Η προτεινόμενη μεθοδολογία συνίσταται στην κατασκευή ενός σχήματος ελαχιστοποίησης που εμπλέκει τα χαρακτηριστικά του ευθέος και αντίστροφου προβλήματος με τη BV- δομή της άγνωστης συνάρτησης α, συνθέτοντας ένα αποδοτικό σχήμα ανακατασκευής. Η επικαιροποίηση του συναρτησιακού ελαχιστοποίησης συντελείται με μια επαναληψιμότητα υβριδικού τύπου, όπου τα υπεισερχόμενα φυσικά πεδία αναζητούνται στον χώρο Sobolev H^1, αλλά ο συντελεστής α έχει χαρακτηριστικά συνάρτησης φραγμένης κύμανσης. Κάτι τέτοιο πραγματοποιείται με την εισαγωγή μιας βοηθητικής μεταβλητής, ω(x), που συνοδεύει τις παραγώγους της α(x) και δρα ως ομαλοποιητής των ασυνεχειών της. Υιοθετούμε τη δυϊκή προσέγγιση “Half-Quadratic Minimization Approach”, που βιβλιογραφικά κατατάσσεται στις τεχνικές αποκατάστασης εικόνας, ενσωματώνοντας τη μεταβλητή ω στον όρο ομαλοποίησης του προβλήματος. Αυτή η διαδικασία ορίζει ένα χρηστικό τύπο κανονικοποίησης για την αριθμητική υλοποίηση του προβλήματος. Στα πλαίσια εφαρμογής της δυϊκής τεχνικής, η βοηθητική μεταβλητή ω χειρίζεται μία υποψήφια συνάρτηση α τη φορά και βάσει αυτού του κανόνα το σχήμα ελαχιστοποίησης βελτιστοποιείται σε κάθε επανάληψη ώστε να συγκλίνει σταδιακά στην αναζητούμενη διεπιφάνεια. Γενικά, σε αυτά τα προβλήματα οι κλασικές μέθοδοι βελτιστοποίησης εμφανίζουν πολλά τοπικά ελάχιστα. Για την αντιμετώπιση τέτοιων δυσκολιών, αξιοποιούμε περαιτέρω τη δυϊκή μεταβλητή ω για να εισάγουμε στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης a priori πληροφορία σχετικά με την πιθανή θέση των κρυμμένων διεπιφανειών. Το κατασκευασμένο συναρτησιακό ελαχιστοποίησης μαζί με την προαναφερθείσα επιπρόσθετη ιδιότητα της μεταβλητής ω συνιστούν την προτεινόμενη μέθοδο αντιστροφής. Τεκμηριώνουμε τη μέθοδο θεωρητικά και παρουσιάζουμε αριθμητικά αποτελέσματα ανακατασκευής ενδεικτικών διδιάστατων αγώγιμων προφίλ πιστοποιώντας την καταλληλότητά της.Η προηγούμενη έρευνα οδήγησε στην επινόηση ενός καινοτόμου σχήματος ανακατασκευής, που αξιοποιεί τα χαρακτηριστικά της half-quadratic προσέγγισης και ταυτόχρονα διατηρεί την BV- ταυτότητα των συντελεστών α καθ’ όλη τη διάρκεια της ελαχιστοποίησης. Το Κεφάλαιο 3 περιγράφει την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος της αγωγιμότητας με αυτό το εναλλακτικό σχήμα ανακατασκευής. Η επονομαζόμενη “Dual Self-Monitored TV- inversion” τεχνική χειρίζεται ισοδύναμα τα πεδία α και ω αναπτύσσοντας ένα διπλό μηχανισμό ελέγχου στη δυϊκή μεταβλητή ω και μέσω αυτής στο φορέα των ασυνεχειών της α. Η αντίστοιχη αριθμητική μέθοδος επιτρέπει την αντιμετώπιση μεγαλύτερου εύρους ανομοιογενών προφίλ, ενώ απαιτεί λιγότερη υπολογιστική ισχύ καθώς συγκλίνει μετά από μία μόλις κλήση του αλγορίθμου σε ένα τοπικό ελάχιστο (α,ω). Η υπολογιστική απόδοση της μεθόδου εξετάζεται στις πειραματικές πλατφόρμες αντιστροφής του Κεφαλαίου 2, αλλά και σε μια ιδιόμορφη γεωμετρικά περίπτωση ανομοιογένειας, με τις εξαγόμενες λύσεις να μαρτυρούν μια εντυπωσιακά ακριβή ανακατασκευή, ακόμη και παρουσία ενθόρυβων δεδομένων.Στη συνέχεια, το έργο ασχολείται με δύο τύπους αντίστροφων προβλημάτων που διατυπώνονται στα πλαίσια της ελαστικότητας (Κεφ. 4). Αρχίζουμε με τη μελέτη του αντίστροφου προβλήματος προσδιορισμού των ελαστικών σταθερών του Lamé σε ένα διδιάστατο γραμμικό και ισότροπο ελαστικό μέσο. Υποθέτουμε ότι οι αναζητούμενοι συντελεστές λ,μ είναι μέλη του χώρου BV, α=(λ,μ)∈(BV)^2, και αποσκοπούμε στον ταυτόχρονο προσδιορισμό τους. Η υλοποίηση αυτού του στόχου αντανακλά στην ιδέα του διπλού μηχανισμού ελέγχου που εφαρμόζεται στο Κεφάλαιο 3 για τον προσδιορισμό μιας BV- αγωγιμότητας. Η προτεινόμενη τεχνική αντιστροφής επεκτείνεται στη διανυσματική περίπτωση της ελαστικότητας αποτελώντας τη γενικευμένη εκδοχή του σχήματος ανακατασκευής της διανυσματικής μεταβλητής (α,ω). Εφαρμόζουμε τη μέθοδο για τον προσδιορισμό ενός διφασικού ελαστικού υλικού επιλύοντας το αντίστροφο πρόβλημα σε αντιπροσωπευτικές ελαστικές δομές που περιγράφονται από τις Lamé σταθερές τους. Το καταληκτικό σχήμα ελαχιστοποίησης επιτυγχάνει εξίσου ακριβή αποτελέσματα ανακατασκευής με τη βαθμωτή περίπτωση της αγωγιμότητας. Τέλος, επιθυμούμε να δημιουργήσουμε ένα ανάλογο μοτίβο ελαχιστοποίησης για το αντίστροφο πρόβλημα του εντοπισμού μιας επίπεδης ρωγμής σε συνεχές ισότροπο και ομογενές ελαστικό μέσο, στηριζόμενοι στην υπόθεση ότι και το ίδιο το ελαστικό πεδίο θα μπορούσε να έχει τη δομή μιας BV- συνάρτησης. Αποδίδουμε στη βοηθητική συνάρτηση r(x) το ρόλο της δυϊκής μεταβλητής ω(x) και αναπτύσσουμε ένα σχήμα κανονικοποίησης βάσει της αποδοτικής αλληλεπίδρασης της r με την L^1- νόρμα των ελαστικών μετατοπίσεων, με στόχο τον εντοπισμό μίας ρωγμής σε άπειρο ελαστικό επίπεδο. Επιχειρούμε την αντιστροφή για διαφορετικές υλοποιήσεις του μήκους και της θέσης της ρωγμής με ένα ζεύγος συνθετικών δεδομένων σε κάθε περίπτωση. Γίνεται σαφές πως μια τέτοια προσέγγιση αποτελεί ένα πρώτο στάδιο υλοποίησης, καθώς το γενικότερο πρόβλημα είναι πολυπαραμετρικό. Στην πράξη, πολλές εκδοχές αυτού του αντίστροφου προβλήματος προκύπτουν σε διαφορετικά φυσικά πλαίσια και αντίστοιχα λαμβάνουν υπόψιν διάφορους περιορισμούς ανάλογα με το πρακτικό πεδίο εφαρμογής και το ζητούμενο της μελέτης. Παρ’ όλα αυτά, τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων παροτρύνουν τη χρήση του προτεινόμενου σχήματος αντιστροφής στην εν λόγω περίπτωση.