Non-linear dynamics modelling in accelerators with the use of symplectic integrators

Abstract

This PhD thesis elaborates the particle dynamics for a large number of revolutions (long timeintegration) in synchrotrons (circular particle accelerators) like the Large Hadron Collider (LHC) andits upcoming High Luminosity upgrade (HL-LHC). A fast introduction to the CERN acceleratorcomplex is presented in Chapter 1. In Chapter 2, using the powerful tools of the Hamiltonian formalismand the Poisson bracket Lie algebra, the mathematical framework that will be used in the followingChapters is developed.For any Hamiltonian problem, the use of symplectic transfer maps is mandatory for any long termintegration study. In Chapters 3 and 4 two differed symplectic integration methods are presented. Thefirst one is better suited for heavy simulations like the study of the bunch dynamics while the other onefor simulations that require very good accuracy like the single particle dynamics.The computational cost for long term bunch dynamics analysis (e.g. study of the space charge or beam-beam effects) can be quite large especially for machines like the LHC and HL-LHC (more that 1016operations per revolution are required). In order to speed up this type of simulations, differed tricks likethe parallel-computing, the use of macro-particles and reduced lattices can be applied. In Chapter 3 amethod to produce simplified versions of the original non-linear lattices is presented. This versatilesymplectic integration scheme (effective lattice) is a sequence of linear sections that are separated bycombined non-linear kicks and can reproduce all the linear properties of the original lattice whileretains an adequate accuracy for the non-linear ones with the least possible elements. The developedtransfer map is quite ease to be adjusted for the needs of differed rings and it is made available as arefined replacement of the simplified rotation matrix that is often used in multi-particle studies thatrequiring a fast beam transport routine.For the evaluation if the different configurations of an accelerator are operational, a set of long termsingle particle tracking studies is needed. In Chapter 4 a new family of high order symplecticintegrators CSABAv & CSBABv is used for the calculation of the Hamiltonian flows in differentaccelerator lattices. A benefit of theses symplectic integrators (when they can be applied) is thepresence of only forward integration steps independent of the order of accuracy. In addition to that, theCSABAv & CSBABv integrators are found to be more accurate for similar or smaller integration costthan other symplectic integration schemes that are well established in the accelerator community.The Chapter 5 of this thesis, deals with an operational problem of the HL-LHC which is the mitigationof the beam-beam long-range (BBLR) interactions. These BBLR kicks can significantly reduce theperformances of the collider thus, the use of DC wires as a compensatory devise is studied. Analyticalexpressions for the resonance driving terms and the tune spread with amplitude, driven by the BBLRinteractions and the wires electromagnetic field, are derived. Using these results as a guideline for thenumerical simulations, it is demonstrated that with a proper optimization of the DC wires, withoutviolating the machine protection restrictions, the long range beam-beam interactions can be very wellmitigated. Also, new nominal and ultimate scenarios of the HL-LHC with smaller crossing angle arefound. These scenarios are operational (good lifetime) only with the use of wire compensators and canbe used as complementary to the original ones for improving the integrated luminosity and theoperational flexibility of the machine.Finally, the last chapter (Chapter 6) is devoted to the conclusions of this thesis.

Αυτή η διδακτορική διατριβή μελετά τη δυναμική σωματιδίων για μεγάλο αριθμό περιστροφών σεκυκλικούς σωματιδιακούς επιταχυντές (σύγχροτρον) όπως ο Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων (LHC)και η επερχόμενη αναβάθμιση του ο Υψηλής Λαμπρότητας Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων (HL-LHC). Μια σύντομη περιγραφή του δικτύου επιταχυντών που βρίσκεται στον Ευρωπαϊκό ΟργανισμόΠυρηνικής Έρευνας (CERN) παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 1. Στο Κεφάλαιο 2, χρησιμοποιώντας τιςδυνατότητες του Χαμιλτονιανού φορμαλισμού αλλα και της Poisson bracket Lie άλγεβρας,αναπτύσσεται ο μαθηματικός φορμαλισμός που θα χρησιμοποιηθεί στα επόμενα Κεφάλαια.Για κάθε Χαμιλτονιανό πρόβλημα, η χρήση συμπλεκτικών ολοκληρωτών είναι απαραίτητη όταν αυτόμελετάται για μεγάλα χρονικά διαστήματα. Στα Κεφάλαια 3 και 4 δύο διαφορετικές συμπλεκτικέςολοκληρωτικές μέθοδοι παρουσιάζονται. Η πρώτη είναι ιδανική για ιδιαίτερα χρονοβόρεςπροσομοιώσεις όπως η μελέτη της δυναμικής της δέσμης σωματιδίων ενω η άλλη για προσομοιώσειςπου απαιτούν υψηλή ακρίβεια όπως η δυναμική ενός σωματιδίου.Το υπολογιστικό κόστος που απαιτείται για τη μελέτη της δυναμικής της δέσμης σωματιδίων γιαμεγάλους χρόνους (π.χ. η μελέτη της συνεισφοράς του χορικού φορτίου ή της αλληλεπίδρασης μεταξύτων δέσμεον) μπορεί να είναι αρκετά μεγάλο ειδικότερα για μηχανήματα όπως ο LHC και ο HL-LHC(απαιτούνται περισσότεροι από 1016 υπολογισμοί ανα περιστροφή). Για να κάνουμε αυτούς τουςυπολογισμούς γρηγορότερα, διάφορες τεχνικές όπως η παραλληλοποίηση τον υπολογισμών, η χρήσημακρο-σωματιδίων και η δημιουργία συμπτυγμένον πλεγμάτων μπορούν να χρησημοποιηθούν. ΣτοΚεφάλαιο 3 η μέθοδος για τη δημιουργία συμπτυγμένον εκδόσεων των αρχικών μη-γραμμικώνπλεγμάτων παρουσιάζεται. Αυτό το πολυδύναμο συμπλεκτικό ολοκληρωτικό σχήμα (αποτελεσματικόπλέγμα) αποτελείται από μία ακολουθία γραμμικών τμημάτων που χωρίζονται από συμπτηγμένα μη-γραμμικά στοιχεία και μπορεί να περηγράψει όλα τα γραμμικά χαρακτηριστικά του αρχικού πλέγματοςκαι ταυτόχρονα διατηρεί ικανοποιητική ακρίβεια για τα μη-γραμμικά χρησιμοποιώντας τα ελάχισταδυνατά στοιχεία. Το αποτελεσματικό πλέγμα είναι αρκετά εύκολο να τροποποιηθεί για τις ανάγκεςδιάφορων δαχτυλιδιών και διατίθεται ως μία ικανότερη επιλογή έναντι της απλοποιημένης μήτραςπεριστροφής που συνήθως χρησιμοποιείται σε μελέτες πολλαπλών σωματιδίων που απετούν γρήγορεςρουτίνες μετάδοσης δέσμεων.Για να ελεγχθεί εάν οι διάφορες διαμορφώσεις ενος επιταχυντή είναι λειτουργικές, ιχνηλασίες ενόςσωματιδίου για μεγάλα χρονικά διαστήματα χρειάζονται. Στο Κεφάλαιο 4 μια καινούρια οικογένειασυμπλεκτικών ολοκληρών υψηλής ακρίβειας, CSABAv & CSBABv, χρησιμοποιείται για τονυπολογισμό Χαμιλτονιανών ροών σε διάφορα πλέγματα επιταχυντών. Ένα πλεονέκτημα αυτών τωνσυμπλεκτικών ολοκληροτών (όταν μπορούν να εφαρμοστούν) είναι η παρουσία μόνο θετικών βημάτωνολοκλήρωσης ανεξάρτητα από τη τάξη ακρίβειας. Επιπρόσθετα, οι CSABAv & CSBAB v ολοκληρωτέςείναι πιο ακριβείς με ίδιο ή μικρότερο υπολογιστικό κόστος από άλλα συμπλεκτικά ολοκληρωτικάσχήματα που χρησιμοποιούνται εκτεταμένα στη φυσική επιταχυντών.Το Κεφάλαιο 5 αυτής της διατριβής, ασχολείται με ένα λειτουργικό πρόβλημα του HL-LHC το οποίοείναι ο μετριασμός των μακράς εμβέλειας αλληλεπιδράσεων μεταξύ των δέσμεων (BBLR). Αυτές οιBBLR αλληλεπιδράσεις μπορούν να μειώσουν σημαντικά τις επιδόσεις του HL-LHC συνεπώς, ηχρήση DC καλωδίων ως συσκευές αποζημίωσης μελετήθηκε. Αναλυτικές σχέσεις για τους όρουςσυντονισμού και τη διασπορά τόνου συναρτήσει των αρχικών συνθηκών που προκαλούνται από τιςBBLR αλληλεπιδράσεις και το μαγνητικό πεδίο των καλωδίων παρουσιάζονται. Χρησιμοποιώνταςαυτά τα αποτελέσματα ως οδηγούς για τις αριθμητικές μελέτες, δείχθηκε ότι με τη σωστή ρύθμιση τωνDC καλωδίων, χωρίς να παραβιάζονται οι προστατευτικοί περιορισμοί, τα καταστρεπτικάαποτελέσματα των BBLR αλληλεπιδράσεον μπορούν να μειωθούν σημαντικα. Επισης, νέα βασικά καιαπόλυτα σενάρια για τον HL-LHC με μικρότερη γωνία διασταύρωσης βρέθηκαν. Αυτά τα σενάριαείναι λειτουργικά (καλός χρόνος ζωής) μόνο με τη χρήση καλωδίων αποζημίωσης και μπορούν ναχρησιμοποιηθούν ως συμπληρωματικά τον αρχικών σεναρίων για τη βελτίωση της συνολικήςλαμπρότητας και της λειτουργικής ευελιξίας του μηχανήματος.Τέλος στο Κεφάλαιο 6 συνοψίζονται τα αποτελέσματα αυτής της διατριβής.