Study of the asymptotic behavior of the solutions of nonlinear difference equations and systems of difference equations

Abstract

In this dissertation, we study the asymptotic behavior of the solutions of non-linear difference equations and systems of difference equations. More precisely, we investigate the asymptotic behavior of the non-hyperbolic zero equilibrium of first order 2x2 close-to-symmetric and 3x3 close-to-cyclic systems of difference equations with exponential terms and the conditions under which bifurcations may occur. The dynamical systems that we research describe biological models and originate generally from the field of population dynamics, although can appropriately applied in a wide range of disciplines. The research is conducted using center manifold theory and normal form bifurcation analysis. Center manifold theory address the stability of non-hyperbolic fixed points. A center manifold is a set Mc in a lower dimensional space, where the dynamics of the original system can be obtained be studying the dynamics on Mc. In this thesis, we study the dynamics of non-hyperbolic fixed points of 2x2 and 3x3 systems of non-linear difference equations by analyzing the dynamics on an associated one-dimensional center manifold Mc.Bifurcation in a dynamical system is occurred when a slight change in parameter values causes a drastic qualitative change in the system's dynamical behavior. Normal form bifurcation analysis is based in the technique for transforming ordinary difference equations into certain standard forms. In this dissertation, using appropriate coordinate transformations, we transform the initial systems into a map that exhibits a certain type of local bifurcation. Applying normal form bifurcation analysis, we obtain the conditions under which local bifurcations evolve in the considered systems.In Chapter 1, we provide some classical results, basic theory and terminology that is used in this dissertation. In Chapter 2, we study the stability of the zero equilibrium of the two following close-to-symmetric systems of difference equationsx_(n+1)=ax_n+by_n e^(-x_n )y_(n+1)=cy_n+dx_n e^(-y_n )andx_(n+1)=ay_n+bx_n e^(-y_n )y_(n+1)=cx_n+dy_n e^(-x_n )where a, b, c, d are real constants and the initial values x_0, y_0 are real numbers. We study the stability of those systems in the special case when one of the eigenvalues of the coefficient matrix of the corresponding linearized systems is equal to -1 and the other eigenvalue has absolute value less than 1, using center manifold theory.In Chapter 3, we study the stability of the zero equilibrium of the two following close-to-cyclic systems of difference equationsx_(n+1)=a_1 x_n+b_1 y_n e^(-x_n )y_(n+1)=a_2 y_n+b_2 z_n e^(-y_n )z_(n+1)=a_3 z_n+b_3 x_n e^(-z_n )andx_(n+1)=a_1 y_n+b_1 x_n e^(-y_n )y_(n+1)=a_2 z_n+b_2 y_n e^(-z_n )z_(n+1)=a_3 x_n+b_3 z_n e^(-x_n )where a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 are real constants and the initial values x_0, y_0 and z_0 are real numbers. We study the stability of those systems in the special case when one of the eigenvalues of the coefficient matrix of the corresponding linearized systems is equal to -1 and the remaining eigenvalues have absolute value less than 1, using center manifold theory.In Chapter 4, we study the stability of the zero equilibrium and the occurrence of flip bifurcation in the following system of difference equationsx_(n+1)=a_1 y_n/(b_1+y_n )+c_1 (x_n e^(k_1-d_1 x_n ))/(1+e^(k_1-d_1 x_n ) )y_(n+1)=a_2 z_n/(b_2+z_n )+c_2 (y_n e^(k_2-d_2 y_n ))/(1+e^(k_2-d_2 y_n ) )z_(n+1)=a_3 x_n/(b_3+x_n )+c_3 (z_n e^(k_3-d_3 z_n ))/(1+e^(k_3-d_3 z_n ) )where a_i, b_i, c_i, d_i, k_i, for i=1,2,3, are real constants and the initial values x_0, y_0 and z_0 are real numbers. We study this system in the special case when one of the eigenvalues of the coefficient matrix of the corresponding linearized system is equal to -1 and the remaining eigenvalues have absolute value less than 1.At last, in Chapter 5, we study the conditions under which the following close-to-symmetric system of difference equations with exponential termsx_(n+1)=a_1 y_n/(b_1+y_n )+c_1 (x_n e^(k_1-d_1 x_n ))/(1+e^(k_1-d_1 x_n ) )y_(n+1)=a_2 x_n/(b_2+x_n )+c_2 (y_n e^(k_2-d_2 y_n ))/(1+e^(k_2-d_2 y_n ) )where a_i, b_i, c_i, d_i, k_i, for i=1,2, are real constants and the initial values x_0, y_0 are real numbers, undergoes Neimark-Sacker, flip (period-doubling) and transcritical bifurcation.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, μελετάται η ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων μη-γραμμικών εξισώσεων διαφορών και συστημάτων εξισώσεων διαφορών. Πιο συγκεκριμένα, μελετάται η ασυμπτωτική συμπεριφορά των μη-υπερβολικών μηδενικών σημείων ισορροπίας σε πρώτης τάξης 2x2 και 3x3 σχεδόν συμμετρικά και κυκλικά συστήματα εξισώσεων διαφορών με εκθετικούς όρους αντίστοιχα, και οι συνθήκες κάτω υπό τις οποίες εμφανίζονται διακλαδώσεις. Οι εξισώσεις διαφορών που μελετώνται περιγράφουν βιολογικά συστήματα και προέρχονται γενικότερα από τον χώρο της δυναμικής των πληθυσμών, ωστόσο μπορούν κατάλληλα να εφαρμοστούν σε μεγάλο εύρος διαφόρων επιστημονικών πεδίων.Η μελέτη διενεργείται με την εφαρμογή της θεωρίας των κεντρικών πολλαπλοτήτων και την ανάλυση των συστημάτων σε κανονικές μορφές διακλαδώσεων. Η θεωρία κεντρικών πολλαπλοτήτων εφαρμόζεται για τη μελέτη της ευστάθειας μη-υπερβολικών σημείων ισορροπίας. Κεντρική πολλαπλότητα είναι ένα σύνολο Mc σε χώρο χαμηλότερων διαστάσεων, όπου η δυναμική συμπεριφορά του αρχικού συστήματος συμπίπτει με τη δυναμική συμπεριφορά του ισοδύναμου συστήματος στο σύνολο Mc. Στην παρούσα διατριβή, μελετάται η δυναμική συμπεριφορά των μη υπερβολικών σημείων ισορροπίας 2x2 και 3x3 συστημάτων μη-γραμμικών εξισώσεων διαφορών διερευνώντας τη δυναμική τους συμπεριφορά σε μια μονοδιάστατη κεντρική πολλαπλότητα Mc.Διακλάδωση σε ένα δυναμικό σύστημα εμφανίζεται όταν μια μικρή μεταβολή στις τιμές των παραμέτρων προκαλεί μια έντονη ποιοτική αλλαγή στη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Η ανάλυση σε κανονικές μορφές διακλαδώσεων βασίζεται στην τεχνική μετασχηματισμού των συνήθων εξισώσεων διαφορών σε συγκεκριμένους τύπους εξισώσεων διαφορών. Στην παρούσα διατριβή, χρησιμοποιώντας κατάλληλους μετασχηματισμούς συντεταγμένων, μετατρέπουμε το αρχικό σύστημα σε μια απεικόνιση η οποία παρουσιάζει ένα συγκεκριμένο είδος τοπικής διακλάδωσης. Εφαρμόζοντας την ανάλυση σε κανονικές μορφές διακλαδώσεων, διερευνώνται οι συνθήκες υπό τις οποίες εξελίσσονται οι τοπικές διακλαδώσεις στα υπό μελέτη συστήματα. Στο Κεφάλαιο 1, παρατίθεται η βασική θεωρία και ορολογία που χρησιμοποιείται στην παρούσα διατριβή. Στο Κεφάλαιο 2, μελετάται η ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας των δύο ακόλουθων σχεδόν συμμετρικών συστημάτων εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=ax_n+by_n e^(-x_n )y_(n+1)=cy_n+dx_n e^(-y_n )καιx_(n+1)=ay_n+bx_n e^(-y_n )y_(n+1)=cx_n+dy_n e^(-x_n )όπου a, b, c, d είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 είναι πραγματικοί αριθμοί. Μελετάται η ευστάθεια των συγκεκριμένων συστημάτων στην ειδική περίπτωση όπου η μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα συντελεστών του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος είναι ίση με -1 και η δεύτερη ιδιοτιμή έχει απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας, εφαρμόζοντας τη θεωρία κεντρικών πολλαπλοτήτων. Στο Κεφάλαιο 3, μελετάται η ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας των δύο ακόλουθων σχεδόν κυκλικών συστημάτων εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=a_1 x_n+b_1 y_n e^(-x_n )y_(n+1)=a_2 y_n+b_2 z_n e^(-y_n )z_(n+1)=a_3 z_n+b_3 x_n e^(-z_n )καιx_(n+1)=a_1 y_n+b_1 x_n e^(-y_n )y_(n+1)=a_2 z_n+b_2 y_n e^(-z_n )z_(n+1)=a_3 x_n+b_3 z_n e^(-x_n )όπου a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 και z_0 είναι πραγματικοί αριθμοί. Η ευστάθεια αυτών των συστημάτων μελετάται στην ειδική περίπτωση όπου η μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα συντελεστών του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος είναι ίση με -1 και οι υπόλοιπες ιδιοτιμές έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας, εφαρμόζοντας τη θεωρία κεντρικών πολλαπλοτήτων. Στο Κεφάλαιο 4, μελετάται η ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας και η εμφάνιση διακλάδωσης διπλασιασμού περιόδου στο ακόλουθο σύστημα εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=a_1 y_n/(b_1+y_n )+c_1 (x_n e^(k_1-d_1 x_n ))/(1+e^(k_1-d_1 x_n ) )y_(n+1)=a_2 z_n/(b_2+z_n )+c_2 (y_n e^(k_2-d_2 y_n ))/(1+e^(k_2-d_2 y_n ) )z_(n+1)=a_3 x_n/(b_3+x_n )+c_3 (z_n e^(k_3-d_3 z_n ))/(1+e^(k_3-d_3 z_n ) )όπου a_i, b_i, c_i, d_i, k_i, για i=1,2,3, είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 και z_0 είναι πραγματικοί αριθμοί. Μελετάται το παραπάνω σύστημα στην ειδική περίπτωση όπου η μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα συντελεστών του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος είναι ίση με -1 και οι υπόλοιπες ιδιοτιμές έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας. Τέλος, στο Κεφάλαιο 5, μελετώνται οι συνθήκες υπό τις οποίες στο ακόλουθο σχεδόν συμμετρικό σύστημα εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=a_1 y_n/(b_1+y_n )+c_1 (x_n e^(k_1-d_1 x_n ))/(1+e^(k_1-d_1 x_n ) )y_(n+1)=a_2 x_n/(b_2+x_n )+c_2 (y_n e^(k_2-d_2 y_n ))/(1+e^(k_2-d_2 y_n ) )όπου a_i, b_i, c_i, d_i, k_i, για i=1,2, είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 είναι πραγματικοί αριθμοί, εμφανίζεται Neimark-Shacker διακλάδωση, διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου και μετακρίσιμη διακλάδωση.