Σύνολα Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας και Birkhoff-James συνημίτονο

Abstract

In this thesis, we study the Birkhkoff-James ε-orthogonality set of a vector χ with respect to a vector ψ in a complex normed linear space. This set is a direct generalization of the numerical range of matrices and operators. Firstly, we give an alternative definition for this set using linear functionals, and explore its rich structure. Based on this new definition, we obtain some basic properties of the Birkhoff-James ε-orthogonality set such as the subadditivity in χ. We also introduce and investigate a cosine function for the convex angle formed by two nonzero vectors of a complex normed linear space, in connection with recent results on the Birkhoff-James approximate orthogonality sets. The proposed cosine function is discussed for bounded linear operators, and some characterizations of the Birkhoff-James orthogonality of bounded linear operators are obtained extending the well-known Bhatia- Semrl Theorem to the case of infinite dimensional normed linear space.Finally, we introduce the Birkhoff-James ε-orthogonality set of vector-polynomials in onecomplex variable, and investigate its geometrical and topological properties in the complex plane. We study the connected components of the Birkhoff-James ε-orthogonality set of vector-polynomials, we characterize the boundary of this set, and investigate the local dimension of its points.

Στην παρούσα Διδακτορική Διατριβή μελετάμε το σύνολο Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας του διανύσματος χ ως προς το διάνυσμα ψ, σε ένα μιγαδικό γραμμικό χώρο με νόρμα. Το σύνολο αυτό αποτελεί γενίκευση του γνωστού αριθμητικού πεδίου πινάκων και τελεστών. Αρχικά, αποδεικνύεται ένας ισοδύναμος εναλλακτικός ορισμός με χρήση γραμμικών συναρτησιακών και ερευνάται η πλούσια δομή του ως άνω συνόλου. Ο νέος αυτός ορισμός οδηγεί σε βασικές ιδιότητες, μεταξύ των οποίων και η υποπροσθετικότητα του συνόλου Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας ως προς το διάνυσμα χ.Επίσης, εισάγουμε και διερευνούμε το Birkhoff-James συνημίτονο της κυρτής γωνίας, που σχηματίζεται από δύο μη μηδενικά διανύσματα ενός μιγαδικού γραμμικού χώρου με νόρμα, το οποίο βρίσκεται σε άμεση σύνδεση με το σύνολο Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας. Το συνημίτονο αυτό μελετάται και για φραγμένους γραμμικούς τελεστές, ενώ παρουσιάζονται κάποιοι χαρακτηρισμοί των φραγμένων γραμμικών τελεστών για την Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητα, στην προσπάθεια επέκτασης του γνωστού Θεωρήματος Bhatia-Semrl σε απειροδιάστατους μιγαδικούς γραμμικούς χώρους με νόρμα.Τέλος, εισάγουμε το σύνολο Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας για διανυσματικά πολυώνυμα μιας μιγαδικής μεταβλητής και διερευνούμε τις γεωμετρικές και τοπολογικές ιδιότητες του συνόλου αυτού στο μιγαδικό επίπεδο. Επιπλέον, μελετάμε το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών του συνόλου, χαρακτηρίζουμε το σύνορό του και διερευνούμε την τοπική διάσταση των σημείων του.