Τοπολογικά προστατευμένη κβαντική πληροφορία και φερμιόνια Majorana

Abstract

This thesis is organized into two units. The first one is concerned with the consistent definition of path integrals in the continuum for bosonic, spin and fermionic systems. Ideas provided by the geometric quantization theory along with analytical techniques are exploited for the two former, while for the latter, Majorana fermions -for which path integrals can be consistently defined- are used as an intermediate tool. Based on this, in the second unit, the path integral formalism is employed in order to study a very important Solid State Physics system, namely the XY model. Important results related to the critical region are found, while the case of a time-dependent field is also examined. Finally, a more technical application of Majorana fermions is presented, where they are used to build non local degrees of freedom.

Η εν λόγω διδακτορική διατριβή χωρίζεται σε δύο ενότητες. Η πρώτη αφορά το συνεπή ορισμό του ολοκληρώματος διαδρομών στο συνεχές για συστήματα spin, μποζονικά και φερμιονικά. Για τα δύο πρώτα αξιοποιούνται οι ιδέες που παρέχει η γεωμετρική κβάντωση και αναλυτικές τεχνικές που προκύπτουν από το ίδιο το ολοκλήρωμα διαδρομών. Για τα τρίτα χρησιμοποιούνται ως ενδιάμεσο εργαλείο τα φερμιόνια Majorana, το ολοκλήρωμα διαδρομών των οποίων μπορεί να οριστεί με συνέπεια στο συνεχές. Με βάση αυτό, στη δεύτερη ενότητα αξιοποιούμε το φορμαλισμό του ολοκληρώματος διαδρομών για να μελετήσουμε ένα πολύ σημαντικό σύστημα της Φυσικής Στερεάς Κατάστασης, το λεγόμενο Μοντέλο ΧΥ. Εξάγονται σημαντικά δεδομένα που αφορούν την περιοχή γύρω από την κρισιμότητα, ενώ μελετάται και η περίπτωση χρονοεξαρτώμενου πεδίου. Τέλος, παρουσιάζεται μια πιο τεχνική εφαρμογή των φερμιονίων Majorana, όπου χρησιμοποιούνται για να στήσουν μη τοπικούς βαθμούς ελευθερίας.